协方差矩阵行列式为0_线性代数 | 行列式的几何意义

“The purpose of computation is insight, not numbers."

-Richard Hamming

计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义。

——理查德·哈明

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我们回到最开始的问题—什么是代数？

在大一下学期数学物理方法基础课程的绪论中，兰鹏飞教授为我们介绍了这一背景。

代数的研究对象不仅是数字，⽽是各种抽象化的结构。实际上，数学上重要的并不是对象，⽽是对象间的关系。例如⼏何可以看成是图形的代数，⽽代数也不外是符号的⼏何。故此，代数被定义为对各种集合的元素施⾏代数运算的科学。

因此我们利用几何理解代是逼近代数本质的一种途径。

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行列式(determinant)

行列式的定义

什么是行列式？在丘维声《高等代数》中给出了n阶行列式的定义：

定义(n阶行列式)

n阶行列式

是n！项的代数和，其中每一项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这n个元素按照行指标成自然序排好位置，当列指标所成排列是偶排列时，该项带正号；奇排列时，该项带符号，即

其中是n元排列，表示对所有n元排列求和。

我认为这个定义更像是生物学中常用的定义法，看完定义我有一种云里雾里的感觉(翻了很多书和课件，大部分书中甚至连定义都没提)，对行列式并没有什么更深的认识，只是大概有个印象：它是一堆数排列成矩形，是一个数值。

我们希望做的是把行列式形象化。

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线性变换与行列式

在上一篇推文中，我们已经了解了线性变换的几何意义。有的线性变换将空间向外拉伸，有的线性变换将空间向内挤压。由此我们引出一个问题——如何度量一个线性变换将空间拉伸或挤压了多少呢？更具体一点，就是测量一个给定面积(或者是体积，或者是一个表示大小的什么积，这和维度[dimension]有关)增大或缩小的比例。

比如说一个矩阵，将它在坐标系上表示，它在方向上的长度为3，在方向上的长度为2，则该矩阵形成的平行四边形面积为3×2=6，即把原来单位矩阵组成的小正方形面积扩大了6倍。

同时我们发现行列式的值就是6啊！！！66666(这并不是偶然，大家用线性变换的方式思考一下行列式就明白了)

再来看以下图片上的几个例子(我就不打字了，吐槽一下vx编辑无法使用LaTex只能将公式打好再一个个截图T T)

这时候问题又来了，面积是正数，而行列式有正有负有零，这要怎么理解呢？

→ 变换之前，在的左侧，若行列式的值为负，则变换后在的右侧，可以想象成，把二维坐标翻转了(简单地说，就是把纸翻过来了)

让我们来重新定义行列式：

线性变换改变面积的比例，称为这个变换的行列式。

这是二维/二阶行列式(两个并不等价，只是这样写方便理解)的情况。那么在三维空间中呢？

• 在三维空间中，行列式代表平行六面体的体积，而加负号则代表从坐标系从右手系转换到左手系。

• 同样推广到更n阶行列式，行列式代表n维空间的大小，而负号代表n维空间的翻转。

行列式的值等于0又代表什么呢？

以三阶行列式为例，它代表三维空间被压缩成一个平面，甚至压缩成一个点。这时我们说，行列式的行(row)或列(column)是线性相关的。这也很好解释我们在后面学到的：数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0

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下一篇文章将是关于特殊矩阵探究的一篇小论文，将提出关于n阶单位三角矩阵m次幂的通式。推导来自Linear Algebra阅读小组的组员们的共同探讨。