迹和行列式的几何意义

迹（Trace）和行列式（Determinant）在几何学中有着深刻的含义，特别是在描述矩阵作为线性变换作用时，它们分别从不同的角度揭示了线性变换对空间的影响。以下是迹和行列式的几何意义：

1. 迹（Trace）的几何意义

迹反映了矩阵对空间的尺度改变，尤其是与矩阵的特征值（或矩阵对角化的结果）相关。

• 线性变换的尺度：对于一个 $n\times n$的矩阵 $A$，它定义了一个从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^n$