群同态和群同构的区别_如何判断群的同态与同构

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判断群的62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333433633339同态与同构的思路及方法如下：

若想研究某一未知代数体系的结构，可以通过建立这个未知代数体系与某一已知代数体系之间的联系进行研究，而这种联系就刻画了这两个代数体系之间的相似程度。

就是让这两个代数体系的结构完全一致，这时这两个代数体系的联系就用“同构”进行刻画。

同构是两个代数体系之间最精细的刻画，然而一般情况下，同构映射很难找到，于是退而求其次，提出一个比同构弱一些的要求：同态。也就是说，不要求这个映射是双射，那此时对这两个代数体系联系刻画的精细程度就低了很多。

也就是说，虽然建立不了两个群中元素之间的一一对应，但是起码建立了已知群的一个子集合和未知群中的一个元素之间的一一对应，对未知群了解的多少取决于这种刻画的精度，也就是取决于同态核的大小。

可以定义一个二进制自然数到十进制自然数的映射，叫做“把一个数映到自己”；然后这个映射是个(半环)同构，保持加法保持乘法——意思是两个数在二进制下怎么加，在十进制下还是怎么加，加出来的结果还是能相互对应；

还是个双射。二进制自然数和十进制自然数其实是同一个东西，这个世界上只有一种自然数，进制的不同并不会改变自然数半环本身的加法乘法结构以及序结构等等；

所以同构起到的就是这么个作用，抓取一个数学对象最本质的信息(比如上面例子里的加法和乘法结构)，而忽略其他没那么重要的信息(比如进制)，然后把具有相同“本质信息”的对象视为一体。

“同构”或者更一般地，“取等价类”这种思想观念其实在学抽象代数之前早就有了。

比如“三个苹果”和“三个香蕉”在只考虑数目的情况下“同构”，帮助给出了3这个抽象的数学概念。

再比如两个全等的三角形可以被视为一体，但是被摆放的位置明明不同，但是在很多情况下，位置的信息并不重要，重要的是三角形本身的几何信息，比如边长、内角等等。

至于同态，那比同构的含义更广一些。

其是在两个本质不一定相同的数学对象之间建立联系；比如自然数半环包含进实数域的那个包含映射，就是一个(单的)半环同态，告诉自然数可以视为实数这个更大的结构的一部分——而不是说自然数和实数是一回事。

所以同态相当于是两个数学对象之间的“纽带”。

扩展资料：

同态与同构，是近世代数系统中的概念，是学习其他相关课程的基础概念。

h同态，代数系统和，f是从G到S上的一个映射. "a,b是G的元，有

f(a＊b)＝f(a)°f(b)

则称f是由到的一个同态映射. 并称G与S同态. 如果f 是满射，则称G与S是满同态，记作G～S；如果f是单射，则称G与S是单同态。

(f(G)，°)称为(G，＊)在f下的同态象。

h同构，代数系统和，如果f是从G到S的一个双射，则称f是从G到S的同构映射，G与S同构，G≌S。

h群的同态与同构，设(G,*)和(S, °)群，若存在同态、单同态、满同态映射f：G®S，则群G与S是同态、单同态、满同态；若存在从到的同态双射，则称群与同构，Q≌S。