leetcode--Valid Triangle Number

问题描述：给定一个非负数组，将它们的大小作为长度，能够在组成多少个合法的三角形。下面是一个例子：

Input: [2,2,3,4]
Output: 3
Explanation:
Valid combinations are: 
2,3,4 (using the first 2)
2,3,4 (using the second 2)
2,2,3

分析：
（1）这个问题我开始没有想到较好的方法，于是就从基本的算法开始着手看看会不会有什么改进。很明显暴力破解法一共有$C_n^3$中情况，$O(n^3)$的时间复杂度。

（2）对于判断三角形是否合法，就是两边之和大于第三边而已。如果三条边的大小排列关系，就是两个较小边之和大于最大边。我们想要改进这个算法，就是看看有没有多余的步骤可以省去。

（3）很明显，假如$x_i<=x_j<=x_p$,这三条边如果不能组成三角形，对于$x_m>=x_p$,与$x_i$和$x_j$的组合也没有必要尝试了。

但是这种依赖大小关系的改进方法需要排序，考虑到排序算法是$O(nlogn)$的复杂度，小于原来的算法，所以是可以接受的。因此写了第一版代码：

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
    	Arrays.sort(nums);
		int rs = 0;
		for(int i = 0;i<nums.length-2;i++)
			for(int j=i+1;j<nums.length-1;j++) 
				for(int p=j+1+counter;p<nums.length;p++) {
					if(nums[p]-nums[j]>=nums[i])break;
						rs++;
				}
        return rs;
    }
}

这个时间复杂度比原来$O(n^3)$好一些，但是总觉得还有哪里可以改进。对于一次遍历中的$x_i<=x_j<=x_p$，假如这三个数字符合要求，即
$x_i+x_j>x_p$，同时存在$x_i+x_j<x_{p+1}$，那么对于任意的$j+1<m<=p$
$x_i+x_m>x_p$必然也是成立的，只需要从p+1的地方开始检验即可。举一个例子说明
假如排序后的数组如下：

$6,8,10,11,12,13,14,15,19$
如果我们在外层循环中已经挑选的较小的数字是6，8，那么验证最大数字只能是10，11，12，13这四种可能
那么下一轮循环挑选的较小数字是6，10, 这时11，12，13这三个数字其实不需再验证了，应该从14开始验证。

所以有了下面的算法

class Solution {
    public int triangleNumber(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
		int temp = 0,counter = 0;
		int rs = 0;
		for(int i = 0;i<nums.length-2;i++) {
			for(int j=i+1;j<nums.length-1;j++) {
				temp=0;
				for(int p=j+1+counter;p<nums.length;p++) {
					if(nums[p]-nums[j]>=nums[i])break;
					else temp++;
				}
				rs +=(temp+counter);
				counter = temp+counter-1>0?temp+counter-1:0;
			}
		}
        return rs;
    }
}

时间复杂度分析：
从内层循环来看，尽管看起来有两层内循环，但是，第三层循环并不是O(n)的规模，而且始终向前，从不回头。在整个第二层循环完成时，其实才遍历了一次数组。我们再次以下面的数组为例，将第二层循环展开看：
$6,8,10,11,12,13,14,15,19$
最外层选定6
\quad次外层选定8
\quad\qquad内层遍历10，11，12，13，14（在14这里停止）
\quad次外层选定10
\quad \quad 内层遍历14，15，19（在19这里停止）
\quad次外层选定11
\quad \quad 内层循环直接跳出。。。
\quad常数时间计算这一轮的结果
…
所以，其实里面虽然有两个循环，但是时间复杂度却是$O(n)$
因此最终的时间复杂度是$O(n^2)$

这是提交结果，看来还有更好的方案，大神确实多。