5、量子点中的超辐射电子输运：广义量子主方程与超辐射行为分析

量子点中的超辐射电子输运：广义量子主方程与超辐射行为分析

1. 广义量子主方程的引入与推导

1.1 超算符形式主义与中岛 - 万齐格方程

在研究包含量子点（QD）和环境的全局系统时，其状态由全密度矩阵 $\rho (t)$ 表示。然而，我们真正关注的是量子点的状态，这由约化密度矩阵 $\rho_S = Tr_B [\rho]$ 描述，其中 $Tr_B$ 是对费米引线未观测自由度的求平均。

从全密度矩阵的冯·诺伊曼方程 $\dot{\rho} = -i [H (t) , \rho]$ 出发，其中 $H (t)$ 可分解为 $H (t) = H_0 (t) + H_1 (t) + H_T$。这里，$H_0 (t)$ 包含了外磁场引起的塞曼分裂和引线中无相互作用电子的哈密顿量，同时吸收了奥弗豪泽场的时间相关期望值。$H_1 (t)$ 包含了类似 Jaynes - Cummings 型的动力学和奥弗豪泽场的涨落。

引入超算符后，冯·诺伊曼方程可写为 $\dot{\rho} = -iL (t) \rho$，其中 $L (t) = L_0 (t) + L_1 (t) + L_T$ 是刘维尔超算符。定义超算符 $P$ 为投影到相关子空间的算符，$P\rho (t) = Tr_B [\rho (t)] \otimes\rho_0^B = \rho_S (t) \otimes\rho_0^B$，其补算符为 $Q = 1 - P$。

通过在冯·诺伊曼方程两边插入 $P$ 和 $Q$，可得到广义中岛 - 万齐格主方程：
$$\frac{d}{dt} P\rho = -iPLP\rho - \int_{0}^{t} dt’ PLQ \hat{T} e