3、迈尔森引理：拍卖机制设计的强大工具

迈尔森引理：拍卖机制设计的强大工具

在拍卖机制设计领域，我们常常追求设计出具有激励相容性（DSIC）、能最大化社会福利且计算高效的拍卖机制。上一讲提出了一个两步走的方法，第一步假设投标是真实的，确定如何分配物品以最大化社会福利；第二步则是推导出合适的售价，使真实投标成为占优策略。而迈尔森引理就是实现第二步的强大通用工具。

1. 单参数环境

单参数环境是阐述迈尔森引理的一个合适抽象层次。在这样的环境中，有 (n) 个参与者，每个参与者 (i) 都有一个私人的非负估值 (v_i)，代表其对所获取“物品单位”的价值。此外，还有一个可行集 (X)，其每个元素都是一个非负的 (n) 维向量 ((x_1, x_2, \ldots, x_n))，其中 (x_i) 表示分配给参与者 (i) 的“物品数量”。以下是一些单参数环境的例子：
- 单件拍卖 ：可行集 (X) 是最多只有一个 1 的 0 - 1 向量集合，即 (\sum_{i = 1}^{n} x_i \leq 1)。
- k 件拍卖 ：有 (k) 个相同物品，且每个投标者最多获得一个物品，可行集是满足 (\sum_{i = 1}^{n} x_i \leq k) 的 0 - 1 向量集合。
- 赞助搜索拍卖 ：可行集 (X) 是对应投标者与广告位分配的 (n) 维向量集合，每个广告位最多分配给一个投标者，每个投标者最多分配到一个广告位。若投标者 (i) 被分配到广告位 (j)，则 (x_i) 等于该广告位的点击率 (\alpha_j)。
- 公共项目 ：决定是否建造一个