Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory 算法博弈论二十讲 Lecture 3 Myerson’s Lemma (上）

Twenty Lectures on Algorithmic Game Theory 算法博弈论二十讲 Lecture 3 Myerson’s Lemma (上）

过去的15年里，计算机科学与经济学之间进行了活跃的互动，催生了算法博弈论这一新兴领域。许多现代计算机科学中的核心问题，从大规模网络中的资源分配到在线广告，都涉及多个自利方之间的相互作用。经济学和博弈论提供了许多有用的模型和定义来思考这些问题。而且，思想的交流也是双向的，计算机科学中的概念在经济学中的重要性也在不断增加。
本书源于作者在斯坦福大学开设的算法博弈论课程，旨在为学生和其他新入门者提供一个快速而易懂的介绍，涵盖了该领域中许多最重要的概念。书中还包括在线广告、无线频谱拍卖、肾脏交换和网络管理的案例研究。
蒂姆·拉夫加登（Tim Roughgarden）是斯坦福大学计算机科学的副教授。由于他在算法博弈论方面的研究，他获得了ACM Grace Murray Hopper奖、科学与工程师总统早期职业奖（PECASE）、卡莱奖（Kalai Prize）以及社会选择与福利奖、数学规划协会的塔克奖（Tucker Prize）和EATCS-SIGACT的哥德尔奖（Gödel Prize）。他撰写了《自私路由与无序代价》（2005）一书，并合编了《算法博弈论》（2007）一书。

Lecture 3 Myerson’s Lemma

上一节课提倡了一种拍卖设计的两步法，旨在实现支配策略激励兼容性 (DSIC)、福利最大化和计算效率（第 2.6.4 节）。第一步假设竞标者如实出价，并确定如何将物品分配给竞标者以最大化社会福利。例如，在赞助搜索拍卖中，这一步是通过将第$i$高的竞标者分配到第$i$好的插槽来实现的。第二步推导出适当的销售价格，使得如实出价成为支配策略。本节课介绍并证明了迈尔森引理，这是一种强大且通用的工具，用于实现第二步。该引理适用于赞助搜索拍卖作为特例，第 4 和第 5 讲将进一步探讨其应用。

第 3.1 节介绍了单参数环境，这是对第 2 讲中提出的机制设计问题的方便推广。第 3.2 节将密封投标拍卖的三个步骤（第 2.2 节）重新表述为分配规则和支付规则。第 3.3 节定义了分配规则的两个属性：可实施性和单调性，并阐述和解释了迈尔森引理。第 3.4 节提供了迈尔森引理的证明概述；初次阅读时可以略过这一部分。迈尔森引理包括 DSIC 机制中支付的公式，第 3.5 节将这一公式应用于赞助搜索拍卖。

3.1 Single-Parameter Environments

在单参数环境中，表述迈尔森引理的抽象水平较高。这种环境包含$n$个代理人。每个代理人$i$都有一个私有的非负估值$v_i$，表示她获取“每单位物品”的价值。最后，存在一个可行集合$\mathbf{X}$，其中每个元素都是一个非负的$n$维向量 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其中$x_i$表示分配给代理人$i$的“物品数量”。

示例 3.1 （单项拍卖） 在单项拍卖中（第 2.1 节），$X$是由最多有一个 1 的 0-1 向量组成的集合，即${\sum }_{i=1}^{n}x$