7、整数上的全同态加密与配对密码系统转换

整数上的全同态加密与配对密码系统转换

整数上的全同态加密

在整数上的全同态加密中，有如下重要的推导和结论。首先是一个等式推导：
[
\begin{align }
\left(\frac{c^ }{p}-\sum s_iz_i\right)^2&=\left(\frac{c^ }{p}-\sum s_i[c^ \cdot y_i]^2+\sum s_i\Delta_i\right)^2\
&=\left(\frac{c^ }{p}-c^ \cdot\left(\sum s_iy_i\right)^2+\sum s_i\Delta_i\right)^2\
&=\left(\frac{c^ }{p}-c^ \cdot\left(\frac{1}{p}-\Delta_p\right)+\sum s_i\Delta_i\right)^2\
&=\left(c^ \cdot\Delta_p+\sum s_i\Delta_i\right)^2
\end{align }
]
我们断言括号内的最终值的大小至多为 1/8。因为 (c^ ) 是允许多项式输出的有效密文，所以 (c^ /p) 与一个整数的差值在 1/8 以内，这些事实共同暗示了一个引理。

为了证明这个断言，我们观察到 (|\sum s_i\Delta_i|\leq\theta\cdot\frac{1}{16\theta}=\frac{1}{16})。对于 (c^ \cdot\Delta_p)，输出