17、贝叶斯核分类器的计算方法

贝叶斯核分类器的计算方法

在机器学习和分类问题中，如何高效准确地进行分类是一个核心问题。这里将介绍一种简单的光线追踪算法，用于估计给定参数化核类的贝叶斯分类器，同时会深入探讨相关的理论和算法细节。

1. 分类问题的基础情况

在分类问题中，样本集的线性可分性是一个重要的考量因素。
- 线性可分情况 ：若有限的样本集是线性可分的，即属于两个类别的样本可以被一个超平面分开。此时，使用核方法而非最大间隔感知机，可能会以更长的学习和运行时间为代价，显著降低泛化误差。
- 线性不可分情况 ：当样本集线性不可分时，有两种解决方案。一是将每个类别划分为更小的部分，直到对应的凸包不再重叠，这会导向网络增长算法；二是将两个集合嵌入到高维空间中，使其变得线性可分，核支持向量机（SVM）就是基于此思想的一种方法。SVM 因其强大的正则化特性和预期结构风险的理论边界而更成功，但训练时间较长，分类器运行速度也比普通前馈网络慢。

2. 简单几何问题

在二维空间中，考虑一个由侧边法向量定义的凸多边形 P。给定一个方向 v，计算将多边形 P 分成面积相等两部分的直线 (v · y) = 1，此直线被称为方向 v 的贝叶斯决策线。当在所有可能方向上绘制这些贝叶斯线时，它们并不相交于一点。贝叶斯点被定义为使方向平均面积差平方最小的点。

通常，计算贝叶斯点比较困难。在凸多面体由一组不等式定义且顶点未知的情况下，可以通过以下方法近似贝叶斯点：
- 计算最大内接圆的中心。
- 更好的方法是计算最大面积内接椭圆的对称中心。在大多数情况下，最大内接圆的中心对应于最大间隔感知机。对于强烈拉长的多边形，考虑多边形的质心是更好的方法。

在高维空间中，为了计算高维多面体的质心，可以采用以下采样方法：
- 蒙特卡罗采样。
- 伪随机序列采样。
- 光线追踪方法：将边界多边形视为台球桌，球在墙壁上弹性反弹。除了完全可积或有理角度台球的少数情况外，定义的哈密顿动力学将是遍历的，意味着典型轨迹将均匀覆盖多边形。

3. 最大间隔感知机

考虑一组 N 维的 m 个数据点，属于两个类别，标签分别为 +1 和 -1。我们要寻找平面法向量 w 和两个阈值 b+1、b-1，使得：
- (w · xi) - b+1 > 0，当 yi = +1
- (w · xi) - b-1 < 0，当 yi = -1
- b+1 > b-1

这对应于找到两个平行的超平面，分别穿过正例和负例的两个凸包之间，使它们的距离（间隙或间隔）最大。最大间隔 G 的计算公式为：
[G = \max_w \frac{b_{+1} - b_{-1}}{(w \cdot w)}]

这个原始问题是最大间隔或最大“死区”感知机问题。上述不等式可以紧凑地重写为一组线性不等式：
[y_i(x_i, 1)^T (w, -b) \geq \Delta \geq 0, \quad i = 1, 2, \cdots, m]
其中，b 是最大间隔感知机的阈值，(\Delta) 是线性不等式组的稳定性。

最小连接问题与最大间隔问题是对偶的。找到两个凸组合 (X_+) 和 (X_-)，使得它们之间的距离最小。对应的权重向量 (w_{mm} = X_+ - X_-)。这定义了一个二次规划问题。在数学规划文献中，相关顶点被称为活动约束，Vapnik 称活动约束为支持向量。

从几何角度看，在共轭向量空间中，满足线性不等式的所有向量 W 位于一个凸锥内。最大间隔感知机对应于该凸锥与单位球相交点的方向。如果所有活动示例具有相同的长度，最大间隔感知机对应于最大内接球的中心。

4. 贝叶斯感知机

给定一组数据 z 和一个未知示例 x，对于平方误差损失，对应类标签 y 的最优预测为：
[f(x) = \int g(x, W)P(W|z)dW]
其中，g 是感知机输出函数，P(W|z) 是后验网络分布。根据贝叶斯恒等式：
[P(W|z) = \frac{P(z|W)P(W)}{P(z)}]

对于独立同分布的后验，贝叶斯分类器可以由对应于版本空间质心的单个感知机表示。版本空间是满足线性不等式的所有权重向量的集合。在遍历性假设下，光线追踪算法可以提供均匀分布的采样点，质心可以通过这些向量的加权平均来估计，权重与后验概率密度成比例。

5. 核台球算法

为了将感知机学习方法推广到核方法，需要将算法用点积的形式重写，并用 Mercer 核替换所有标量积。

5.1 翻转器算法

翻转器算法的步骤如下：
1. 初始化质心向量、计数器等，根据公式对示例向量进行归一化。
2. 在版本空间内找到一个可行解 W。
3. 在版本空间中生成一个随机单位方向向量 V。
4. 对于迭代次数 (n_B < N_{max})（飞行时间 (\tau < \tau_{max})）：
- 计算到所有边界平面的飞行时间（约 (m^2) 次点积，相当于核评估）。
- 计算下一次反弹的平面索引（对应于最短正飞行时间）。
- 计算版本空间中的新位置 W’ 并存储在质心向量中。
- 计算反射方向向量 V’。
5. 测试条件：如果逃逸到无穷大，则返回步骤 3；如果达到 (N_{max}) 则退出。

该算法的典型操作次数为 (O(M^2N_{max})) 次核评估。为了找到可行解，可以使用任何感知机学习算法或下面介绍的光阱方法。

关于收敛估计，如果生成的向量序列是独立同分布的，根据 Hoeffding 不等式，需要的反弹次数 (N_B) 满足：
[N_B > \frac{\Lambda^2m}{\epsilon^2} \ln \frac{2m}{\eta}]
其中，m 是训练向量的数量，(\Lambda) 是相关长度。相关长度是指两个原本在相空间中接近的轨迹开始在不同平面上反弹所需的平均反弹次数。如果 (\Lambda) 增长慢于 (m^{\frac{1}{2}})，则翻转器算法比 Khachiyan - Todd 算法更快。

在将台球算法推广到核方法时，质心位于由示例集定义的线性空间中。因此，可以将方向向量限制在由示例向量张成的子空间中。

5.2 光阱算法

光阱算法可以用于生成可行解。考虑一个半反射镜，当光线从上方照射（(V_{\perp} < 0)）时，轨迹被弹性反射；当光线从下方照射（(V_{\perp} > 0)）时，轨迹可以穿过镜子。如果从版本空间中错误较少的点开始轨迹，每次遇到不满足的线性不等式时，就“穿过”它，减少错误数量，最终轨迹将被困在零错误的版本空间中。

5.3 软台球算法

软台球算法允许有一个或多个错误。“洋葱算法”将正飞行时间按升序排序。最短飞行时间对应于零错误特征空间多面体的边界，我们可以同时采样该射线在第二次（一个错误版本空间）、第三次（两个错误版本空间）等反弹时的位置。在将轨迹保持在零错误锥内的同时，以最小的额外成本生成零错误、一个错误、两个错误等版本空间的估计。

6. 数值测试

虽然尚未对 SVM 变体的算法进行详尽测试，但已有文章的数值结果支持相关结论。以普通感知机为例，训练示例随机生成并根据一个固定的“教师”感知机进行分类。通过光线追踪算法得到的实验结果是 10 次不同运行的平均值。实验结果表明，在每次单独运行中，最大间隔感知机的性能都不如台球算法。

在实际数据集上的测试结果如下：
- 声纳数据 ：使用洋葱算法可以在相当宽的 (\sigma) 值范围内获得非常好且稳定的结果。
- 威斯康星乳腺癌数据 ：使用留 10 交叉验证方法，对于 (\sigma = 1.75)，最大间隔 SVM 有 25 个错误，台球算法有 23 个错误（共 670 次测试）。

7. 总结

虽然尚未详细测试用于 SVM 的台球算法，但相信该算法及其变体可以为贝叶斯核分类器提供良好的估计。观察到最佳结果通常在台球动力学“关闭”之前获得。对于较小的核参数 (\sigma)，轨迹较短，球经常逃逸到无穷大；随着 (\sigma) 的增加，轨迹长度也增加；当 (\sigma) 更大时，会发生类似相变的变化，轨迹长度似乎发散，台球“关闭”。

进一步的理论工作对于正确确定相关长度 (\Lambda) 是必要的。如果 (\Lambda) 不依赖于维度（训练示例的数量），则台球方法可能优于任何已知的凸规划问题求解算法。目前基于台球的算法与 QP 算法相比速度较慢，但由于它们可以在不同处理器上并行运行，无需大量数据交换，因此适合大规模并行处理。

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示翻转器算法的主要步骤：

graph TD;
    A[初始化质心向量等] --> B[找到可行解 W];
    B --> C[生成随机单位方向向量 V];
    C --> D{迭代 nB < Nmax};
    D -- 是 --> E[计算飞行时间];
    E --> F[计算下一次反弹平面索引];
    F --> G[计算新位置 W' 并存储];
    G --> H[计算反射方向向量 V'];
    H --> I{是否逃逸到无穷大};
    I -- 是 --> C;
    I -- 否 --> D;
    D -- 否 --> J[结束];

以下是软台球算法生成的典型错误表：
| err | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| -0 | 8 (3,5) | 9 (1,8) | 13 (1,12) | 18 (1,17) | 20 (0,20) | 21 (0,21) |
| -1 | 10 (5,5) | 7 (2,5) | 8 (1, 7) | 8 (1, 7) | 9 (1, 8) | 11 (1,10) |
| -2 | 10 (5,5) | 8 (3,5) | 8 (2, 6) | 6 (1, 5) | 10 (1, 9) | 16 (1,15) |
| -3 | 10 (5,5) | 9 (4,5) | 10 (3, 7) | 6 (1, 5) | 7 (1, 6) | 9 (1, 8) |
| -4 | 12 (7,5) | 10 (5,5) | 10 (4, 6) | 9 (3, 6) | 8 (1, 7) | 8 (1, 7) |
| -5 | 10 (8,2) | 10 (5,5) | 9 (4, 5) | 9 (4, 5) | 8 (3, 5) | 7 (1, 6) |

这些内容展示了贝叶斯核分类器计算方法的相关理论、算法和实验结果，为分类问题的研究和应用提供了有价值的参考。

贝叶斯核分类器的计算方法

8. 算法的深入分析与优势探讨

光线追踪算法作为一种独特的方法，在贝叶斯核分类器的计算中展现出了诸多潜在优势。

• 并行处理能力 ：基于台球的算法可以在不同处理器上并行运行，且无需大量的数据交换。这使得它们在大规模并行处理环境中具有很大的潜力。在实际应用中，当面对大规模的数据集时，并行处理可以显著缩短计算时间，提高算法的效率。例如，在处理声纳数据或威斯康星乳腺癌数据时，如果使用多核处理器或分布式计算集群，算法可以同时在多个节点上运行，从而加快分类器的训练和预测过程。
• 适应性与灵活性 ：软台球算法允许有一个或多个错误，通过“洋葱算法”可以同时采样不同错误版本空间的位置。这种灵活性使得算法能够适应不同的数据集和分类任务。在实际应用中，不同的数据集可能具有不同的复杂度和噪声水平，软台球算法可以根据具体情况调整错误容忍度，从而获得更好的分类效果。

然而，这些算法也存在一些挑战和需要进一步研究的地方。

• 相关长度的确定 ：相关长度 (\Lambda) 的确定是一个关键问题。目前还不清楚 (\Lambda) 是常数还是与训练示例数量 (m) 有关的函数。如果 (\Lambda) 不依赖于维度，那么台球方法可能优于已知的凸规划问题求解算法。但在实际应用中，准确确定 (\Lambda) 的值仍然是一个难题，需要进一步的理论研究和实验验证。
• 计算速度 ：目前基于台球的算法与 QP 算法相比速度较慢。虽然并行处理可以在一定程度上提高效率，但在某些情况下，仍然无法满足实时性要求较高的应用场景。因此，需要进一步优化算法的实现，提高计算速度。

9. 应用场景与案例分析

贝叶斯核分类器的计算方法在多个领域都有潜在的应用价值。

• 医学诊断 ：在医学诊断中，如威斯康星乳腺癌数据的分类，准确的分类结果对于患者的治疗和预后至关重要。台球算法在该数据集上的表现优于最大间隔 SVM，说明它在医学诊断领域具有一定的应用潜力。通过对患者的各种特征数据进行分类，可以帮助医生更准确地判断患者是否患有疾病，以及疾病的严重程度。
• 信号处理 ：在声纳数据处理中，需要对不同的信号进行分类，以识别目标物体。洋葱算法在声纳数据上的良好表现，表明它可以在信号处理领域发挥作用。通过对声纳信号的分类，可以提高目标识别的准确性和效率。

以下是一个简单的表格，总结了不同算法在不同数据集上的表现：
| 数据集 | 最大间隔 SVM 错误数 | 台球算法错误数 |
| — | — | — |
| 威斯康星乳腺癌数据（(\sigma = 1.75)，670 次测试） | 25 | 23 |
| 声纳数据 | - | 洋葱算法在较宽 (\sigma) 值范围有良好稳定结果 |

10. 未来研究方向

为了进一步提高贝叶斯核分类器的性能和应用范围，未来可以从以下几个方面进行研究。

• 算法优化 ：针对目前算法计算速度较慢的问题，可以通过优化算法的实现细节，如减少不必要的计算步骤、提高代码的并行性等，来提高算法的效率。同时，可以研究如何更好地确定相关长度 (\Lambda) 的值，以充分发挥算法的优势。
• 核函数的选择与设计 ：核函数的选择对分类器的性能有重要影响。未来可以研究如何根据不同的数据集和分类任务，选择合适的核函数，或者设计新的核函数，以提高分类器的准确性和泛化能力。
• 多算法融合 ：可以将基于台球的算法与其他分类算法进行融合，充分发挥不同算法的优势。例如，可以将台球算法与深度学习算法相结合，利用深度学习算法的强大特征提取能力和台球算法的分类能力，提高分类器的性能。

下面是一个 mermaid 流程图，展示未来研究方向的关系：

graph LR;
    A[算法优化] --> C[提高贝叶斯核分类器性能];
    B[核函数选择与设计] --> C;
    D[多算法融合] --> C;

11. 总结与展望

贝叶斯核分类器的计算方法为分类问题提供了一种新的思路和方法。光线追踪算法及其变体，如翻转器算法、光阱算法和软台球算法，在理论和实验上都展现出了一定的优势。虽然目前这些算法还存在一些挑战，如计算速度较慢、相关长度难以确定等，但通过进一步的研究和优化，有望在未来得到更广泛的应用。

在实际应用中，这些算法可以根据不同的数据集和分类任务进行调整和优化，以获得更好的分类效果。同时，随着计算机技术的不断发展，并行处理能力的不断提高，基于台球的算法有望在大规模数据集上发挥更大的作用。未来的研究可以从算法优化、核函数选择与设计、多算法融合等方面入手，进一步提高贝叶斯核分类器的性能和应用范围，为解决实际问题提供更有效的工具。

总之，贝叶斯核分类器的计算方法具有广阔的研究前景和应用价值，值得我们深入探索和研究。