18、数字图像处理中的投影、采样与重建

数字图像处理中的投影、采样与重建

在数字图像处理的领域中，投影、采样和重建是几个关键的概念，它们对于获取、处理和还原图像信息起着至关重要的作用。下面将详细介绍这些概念及其相关的处理过程。

1. 投影与重建

在实际应用中，我们往往只能获取有限数量的投影。这相当于在图像的拉东表示中对角度 $\vartheta$ 进行采样。为了更好地理解投影和重建的过程，我们可以通过一个简单的例子——点的重建来进行说明。

由于拉东变换及其逆变换都是线性变换，从所有方向对一个点进行投影时，投影结果是相等的，并且在投影函数 $P(r, \vartheta_i)$ 中会呈现出一个尖锐的最大值。

滤波反投影算法主要包含以下两个步骤：
- 第一步 ：将投影函数 $P$ 与 $|k|$ 滤波器进行卷积。得到的结果是一个修改后的投影函数 $P’$，它与 $|k|$ 滤波器的点扩散函数相同。
- 第二步 ：将反投影在图像中进行累加。在图像中该点的位置上，所有投影的峰值会累加起来；而在图像的其他位置，滤波后的反投影会以相互抵消的方式叠加，因为它们包含正负值。如果投影方向足够接近，除了图像中心的点之外，其他位置的反投影会相互抵消。但如果投影数量不足，就会导致星状的失真模式。

此外，这个简单的例子还凸显了对投影进行滤波的重要性。如果省略滤波步骤，我们会将围绕该点位置旋转的 $\delta$ 线作为反投影进行累加，最终得到的不是一个点，而是一个随 $|x|^{-1}$ 衰减的旋转对称函数，这会导致重建的对象出现明显的模糊。

2. 数字化、采样与量化