36、线性降维技术：多类问题的有效解决方案

线性降维技术：多类问题的有效解决方案

线性降维（LDR）在模式识别领域至关重要，其目标是提取并保留能在降维子空间中实现卓越分类的有效特征，为输入数据提供可靠的分类结果。传统的LDR方案如Fisher判别分析（FDA）及其众多扩展方法，在处理两类问题时已得到深入研究，但处理多类问题时面临诸多挑战。

1. 线性降维技术概述

线性降维技术旨在从数据中提取关键特征，减少数据维度，同时保持分类性能。常见的LDR方法包括FDA、异方差判别分析（HDA）和基于Chernoff距离的判别分析（CDA）。
- FDA ：通过最大化类间散度与类内散度的比值来寻找最优投影矩阵。
- HDA ：考虑了类间的有向距离矩阵，以提高分类性能。
- CDA ：最大化低维类之间的Chernoff距离，从而增强类间的可分性。

2. 两类LDR方案

对于两类问题，假设给定先验概率 $p_1$ 和 $p_2$，以及两个 $n$ 维正态分布的随机向量 $x_1 \sim N(m_1; S_1)$ 和 $x_2 \sim N(m_2; S_2)$。目标是找到一个 $d \times n$ 矩阵 $A$，使得线性变换 $y_i = Ax_i$ 后的数据尽可能可分。
- FDA准则 ：找到矩阵 $A$ 最大化 $J_F(A) = tr[(AS_WA^T)^{-1}(AS_EA^T)]$，通过取 $S_W^{-1}S_E$ 的 $d$ 个最大特征值对应的特征向量得到。由于 $S_E$ 的秩为 1，FDA 只能将维度降