27、短通用哈希函数及其应用

短通用哈希函数及其应用

1. 基础理论

在数学领域，我们考虑函数 (f(x) = ax^2 + bx + c)，特别地，当 (F = GF(2)) 且 (M = R) 时，(\sum_{i\in I} R^i) 是 (GF(2)[R]) 的一个元素。利用 Daykin 的公式，对于任意 (f[R] \in GF(2)[R])，有 (rank(f(R)) = \kappa - DegL(x^{\kappa} - 1, f(x)))，其中 (DegL(g(x), g’(x))) 表示 (GF(2)) 多项式 (g) 和 (g’) 的最大公因式的次数。这里，(x^{\kappa} - 1) 可分解为 ((x - 1)(x^{\kappa - 1} + x^{\kappa - 2} + \cdots + x + 1))，加法和减法为异或运算。后一个因式被称为全一多项式（AOP）。如果 (AOP) 的次数为 (\kappa - 1) 且在 (GF(2)) 上不可约，那么 (rank(f(R))) 至少为 (\kappa - 1)。

2. CLH 相关性质

• CLH 的基本性质 ：若 (\kappa) 满足条件，(CLH_{\kappa}) 且 (K \stackrel{\$}{\leftarrow} {0, 1}^{\kappa}) 是 (2/2^{\kappa}-AXU) 的，(CLH^+ {\kappa} : {0, 1}^{\kappa} \times ({0, 1}^{\kappa - 1} \times {0, 1}^{\kappa}) \to {0, 1}^{\kappa}) 定义为 (CLH^+ {\