49、随机规划问题确定性近似与最优控制逆问题解的估计

随机规划问题确定性近似与最优控制逆问题解的估计

1. 随机规划问题相关概念

在随机规划领域，对于包含随机参数线性不等式的个体概率约束问题，有着独特的处理方法。首先，概率约束会被转化为分位数不等式，然后基于 p - 核的外部多面体近似来对这些不等式进行近似处理。

1.1 p - 核的定义

对于 n 维随机向量 ξ，p - 核 K(p) 的概念至关重要。若 Borel 可测集 S 满足 P(S) ≥ p，则称 S 为 p - 置信集。p - 核 K(p) 被定义为所有闭凸 p - 置信集的交集，其表达式为：
[K(p) = \bigcap_{|c| = 1} {x \in \mathbb{R}^n : c^T x \leq b_p(c)}]
其中，(| \cdot |) 是向量的欧几里得范数，(b_p(c) = [c^T \xi]_p)。这意味着 p - 核等同于所有对应于单位外法向量 c 的闭 p - 置信半空间的交集。当 p > n / (n + 1) 时，集合 K(p) 对于任何概率分布 P 都非空，且非空的 p - 核是一个凸紧集。

1.2 p - 核的近似

为了便于处理，可使用 p - 核凸多面体 (K_N(p)) 来近似 K(p)，其表达式为：
[K_N(p) = \bigcap_{c \in C_N} {x \in \mathbb{R}^n : c^T x \leq b_p(c)}]
其中 (C_N) 是一个包含 N 个单位向量的有限集。设置 (C_N) 的算法步骤如下：
1. 在以原点为中心的单位立方体表面生成 N 个点的均匀密集网格。
2. 将网格上的点