延迟标记 (线段树)

延迟标记

在线段树中，单点修改时，我们是将信息从叶节点向上依次更新它的父节点，直到根节点。如果在区间修改仍然按照这个策略，那么修改的时间复杂度为O(N)。
为了降低时间复杂度，我们可以在更新时只更新大区间，不向下更新到叶子节点，等查询时再更新。举个例子：我们将1-5的位置上每个数+100，重复10000次上述操作。我们加10000次100和直接+1000000是相等的效果，但是一个执行了10000次，而另一个只执行1次。 我们又知道计算机的计算效率和计算次数是相关的，所以我们可以利用该原理，当区间修改时不向下更新，直至查询时再更新。

例题

以POJ3468为例，我们使用线段树+延迟标记技巧 来实现快速区间修改与区间查询。
具体做法是，我们为每个节点增加一个延迟标记add，如果add为0，则说明该点的所有子区间都已更新完成，否则说明其子区间仍需要+add。请注意，如果一个节点被打上“延迟标记”，说明该节点曾经被修改过，但其子节点尚未被更新，即延迟标记说明的是子节点的待更新情况。
具体实现时，我们可以使用一个函数spread来实现延迟标记向下传递。

代码示例：
 

#include<cstdio>
const int MAXN = 1e5+50;
typedef long long ll;
struct SegmentTree{
	int l,r;
	ll sum,add;
	#define l(x) t[x].l
	#define r(x) t[x].r
	#define sum(x) t[x].sum
	#define add(x) t[x].add
}t[MAXN*4];
 
int a[MAXN],n,m;
//将延迟标记向下更新一层 
inline void spread(int p){
	if(add(p)){
		sum(p*2) += (r(p*2) - l(p*2) + 1)*add(p);
		sum(p*2+1) += (r(p*2+1) - l(p*2+1) + 1)*add(p);
		add(p*2) += add(p);
		add(p*2+1) += add(p);
		add(p) = 0;
	}
}
//建树  l和r是当前节点所代表的区间的左右端点 
void build(int p,int l,int r){
	l(p) = l,r(p) = r,add(p) = 0;
	if(l == r){
		t[p].sum = a[l];
		return;
	}
	int mid = (l+r)/2;
	build(p*2,l,mid);
	build(p*2+1,mid+1,r);
	t[p].sum = t[p*2].sum + t[p*2+1].sum; 
}
//区间更新 如果当前区间被包含 则延迟标记 
void change(int p,int l,int r,int d){
	if(l <= l(p) && r(p) <= r){
		sum(p) += (r(p)-l(p)+1)*d;
		add(p) += d;
		return;
	}
	spread(p);
	int mid = (l(p)+r(p))/2;
	if(l <= mid) change(p*2,l,r,d);
	if(r > mid) change(p*2+1,l,r,d);
	sum(p) = sum(p*2) + sum(p*2+1);
}
//区间查询 当查询到该区间时顺便更新 
ll ask(int p,int l,int r){
//	printf("%d %d\n",l(p),r(p));
	if(l <= l(p) && r(p) <= r){
		return sum(p);
	}
	ll ans = 0;
	spread(p);
	int mid = (l(p) + r(p))/2;
	if(l <= mid) ans += ask(p*2,l,r);
	if(r > mid) ans += ask(p*2+1,l,r);
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",a+i);
	build(1,1,n);
	while(m--){
		char op[5];
		scanf("%s",op);
		if(op[0] == 'C'){
			int l,r,d;
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
			change(1,l,r,d);
		}else{
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%lld\n",ask(1,l,r));
		}
	}
	return 0;
}