22、密码学中的数学基础与算法证明

密码学中的数学基础与算法证明

1. 加法链与逆元计算

1.1 加法链示例

加法链在密码学的有限域运算中有着重要的应用。以下是一个加法链的示例：
| i | ui |
| — | — |
| 0 | u0 = 1 |
| 1 | u1 = u0 + u0 = 2 |
| 2 | u2 = u1 + u0 = 3 |
| 3 | u3 = u2 + u2 = 6 |
| 4 | u4 = u3 + u0 = 7 |
| 5 | u5 = u4 + u4 = 14 |
| 6 | u6 = u5 + u5 = 28 |
| 7 | u7 = u6 + u0 = 29 |
| 8 | u8 = u7 + u7 = 58 |
| 9 | u9 = u8 + u8 = 116 |
| 10 | u10 = u9 + u9 = 232 |

加法链需满足 (u_i = u_j + u_k)（(k ≤ j < i)，(i = 1, 2, 3, \cdots, t)）以及 (u_0 < u_1 < u_2 < \cdots < u_t) 的条件。

1.2 逆元计算算法

假设每个 (u_i)（除第一个）表示为一对 ((u_j, u_k)) 使得 (u_i = u_j + u_k)，则对于 (I = a^{-1}) 有以下算法：
- (I_{u_0} = 1)
- (I_{u_i} = I_{2u_k}^{u_j} * I_{u_k})（(i = 1, 2, 3, \cdots,