7、数论与模运算密码系统基础

数论与模运算密码系统基础

离散对数问题

在特定参数选择下，判断一个数是否是另一个数相对于给定模数的离散对数是极其困难的，这就是离散对数问题。若方程有关于 $x$ 的解，此时 $x$ 被称为 $y$ 相对于底数 $g$ 的离散对数。

二次剩余与平方根

• 定义 ：设 $a$ 和 $m$ 为整数，且 $\gcd(a, m) = 1$。若方程 $x^2 \equiv a \pmod{m}$ 有关于 $x$ 的解，则 $a$ 被称为模 $m$ 的二次剩余，解 $x$ 是 $a$ 的平方根；否则 $a$ 是模 $m$ 的二次非剩余。
• 示例 ：
  • 模 15 的二次剩余有 1、4、6、9 和 10；二次非剩余有 2、3、5、7、8、11、12、13 和 14。
  • 模 13 的二次剩余有 1、3、4、9、10 和 12；二次非剩余有 2、5、6、7、8 和 11。
    | $a$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
    | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
    | $a^2 \bmod 15$ | 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 | 1 | 9 | 4 | 1 |

$a$ <