64、基础算法数论与模运算详解

基础算法数论与模运算详解

1. 欧几里得算法求最大公约数

欧几里得算法（GCD）用于计算两个整数的最大公约数。其输入为两个整数 (a) 和 (b)，满足 (a \geq b > 0)，输出为 (a) 和 (b) 的最大公约数。算法流程如下：

ALGORITHM B.7
The Euclidean algorithm GCD
Input: Integers a, b with a ≥b > 0
Output: The greatest common divisor of a and b
if b divides a
    return b
else return GCD(b, [a mod b])

可以证明，若 (a_0 \geq b_0 > 0)，设 (a_i)，(b_i)（(i = 1, \cdots, \ell)）为第 (i) 次递归调用 GCD 的参数，则对于 (0 \leq i \leq \ell - 2)，有 (b_{i + 2} \leq b_i / 2)。

推论表明，在执行算法 GCD(a, b) 时，对 GCD 的递归调用最多为 (2 |b| - 2) 次。

此外，通过对欧几里得算法进行简单修改，得到扩展欧几里得算法（eGCD），不仅可以计算最大公约数，还能找到整数 (X) 和 (Y)，使得 (Xa + Yb = \gcd(a, b))。其算法流程如下：

ALGORITHM B.10
The extended Euclidean al