17、基于霍勒沃量的边中心性研究

基于霍勒沃量的边中心性研究

1. 引言

复杂网络的研究在科学界越来越受关注，因为它能帮助我们建模和理解大量现实世界的系统，像代谢网络、蛋白质相互作用网络、大脑网络和科学合作网络等。网络科学的一个关键问题是确定网络中最相关的节点，这通常用顶点中心性来衡量，常见的中心性指标有度中心性、紧密中心性和介数中心性等。而与之密切相关的问题是测量边的中心性。

大多数边中心性指标是顶点中心性指标的变体，常见的定义边中心性的方法是将相应的顶点中心性应用于所研究网络的线图。但这种方法与直接在原图上定义边中心性的结果不同，而且线图的规模是原图的二次方，对于计算要求高的中心性指标，很难扩展到大型网络。

本文引入了一种基于量子信息理论的新型边中心性度量方法，通过边对网络冯·诺依曼熵的贡献来衡量边的重要性，这可以用霍勒沃量来度量。同时，对于大型网络，我们还展示了如何近似该量，并通过实验评估该中心性度量方法。

2. 量子信息理论背景

2.1 量子态和冯·诺依曼熵

在量子力学中，系统可以处于纯态或混合态。纯态用狄拉克符号表示为列向量 $|\psi_i\rangle$，混合态是纯量子态 $|\psi_i\rangle$ 的集合，每个态的概率为 $p_i$，其密度算符 $\rho$ 定义为：
$\rho = \sum_{i} p_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$
混合态的冯·诺依曼熵 $S$ 定义为：
$S(\rho) = -tr(\rho \ln \rho) = -\sum_{i} \lambda_i \ln(\lambda_i)$
其中 $\lambda_1, \cdots,