bzoj3529 [Sdoi2014]数表

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树状数组

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本文介绍了一种计算特定条件下约数和的算法，并详细解释了如何利用树状数组处理前缀和来解决带有约束条件的问题。通过离线处理和优化计算过程，实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

如果不考虑a的限制，这道题就简化了一下。

令 $f(x)$ 表示x的约数和， $g(x)=\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}[gcd(i,j)==x]$
那么， $ans=\sum^{n}_{i=1}f(i)g(i)$ ,由某道题可得 $g(i)$ 的表达式。
YY的GCD
$g(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})[\frac{n}{d}][\frac{m}{d}]$
然后，这个问题就大概解决了。

那么如果有限制的话，我们可以先离线，然后用树状数组处理前缀和就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100000
using namespace std;
int T,mx,ans[N+5],lst,n,m;
int prime[N+5],mu[N+5],notp[N+5],cnt;
int c[N+5];
struct question{
    int n,m,id,a;
    bool operator < (const question &A)const{
        return a<A.a;
    }
}A[N+5];
pair <int,int>F[N+5];
inline char nc()
{
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    int x=0,b=1;
    char c=nc();
    for(;!(c<='9'&&c>='0');c=nc())if(c=='-')b=-1;
    for(;c<='9'&&c>='0';c=nc())x=x*10+c-'0';
    return x*b;
}
inline void add(int x,int val)
{
    for(;x<=N;x+=x&-x)c[x]+=val;
}
inline int query(int x)
{
    int ans=0;
    for(;x>=1;x-=x&-x)ans+=c[x];
    return ans;
}
inline void init()
{
    notp[1]=true;mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=mx;i++)
    {
        if(!notp[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=mx;j++)
        {
            notp[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=mx;i++)
        for(int j=i;j<=mx;j+=i)
            F[j].first+=i;
    for(int i=1;i<=mx;i++)F[i].second=i;
}
int main()
{
    freopen("in.txt","r",stdin);
    T=read();
    for(int i=1;i<=T;i++)A[i].n=read(),A[i].m=read(),A[i].a=read(),A[i].id=i;
    for(int i=1;i<=T;i++)if(A[i].n>A[i].m)swap(A[i].n,A[i].m);
    for(int i=1;i<=T;i++)mx=max(mx,A[i].m);
    sort(A+1,A+T+1);
    init();sort(F+1,F+mx+1);
    int now=0;
    for(int i=1;i<=T;i++)
    {
        while(now+1<=mx&&F[now+1].first<=A[i].a)
        {
            now++;
            for(int j=F[now].second;j<=mx;j+=F[now].second)
                add(j,F[now].first*mu[j/F[now].second]);
        }
        n=A[i].n,m=A[i].m;
        for(int j=1;j<=n;j=lst+1)
        {
            lst=min(n/(n/j),m/(m/j));
            ans[A[i].id]+=(n/j)*(m/j)*(query(lst)-query(j-1));
        }
    }
    for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",ans[i]&0x7fffffff);
    return 0;
}