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最新推荐文章于 2018-05-25 18:33:57 发布

wanherun

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分类专栏：刷题总结动归与递推文章标签：斜率dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wanherun/article/details/77924246

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本文介绍了一种斜率优化的动态规划算法实现方法。通过分析数据范围和问题特性，提出了n^2转移方程，并给出了具体的代码实现过程。文章详细展示了如何推导斜率公式并利用斜率进行优化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

看数据范围和直觉，可以知道，这应该是一道斜率优化的dp。

n^2的转移方程很好想

    for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]+P[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=B[i-1]+X[i]*P[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      f[i]=C[i]+X[i]*A[i]-B[i];
      for(int j=1;j<i;j++)
          f[i]=min(f[i],f[j]+C[i]+X[i]*(A[i]-A[j])-(B[i]-B[j]));
    }
    cout<<f[n];

之后，就是推公式了。
来，我们展示一下强大的计算能力。

装作有过程。。。。

之后，可以得到斜率是(double)(f[i]-f[j]+B[i]-B[j])/(double)(A[i]-A[j])
然后就秒了。


#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000000
#define LL long long
using namespace std;
LL n,f[N+1];
LL A[N+1],B[N+1],C[N+1],X[N+1],P[N+1];
int q[N+1],l,r;
inline char nc()
{
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline LL read()
{
    LL x=0;
    char c=nc();
    while(c<'0'||c>'9')c=nc();
    while(c<='9'&&c>='0')x=x*10+c-'0',c=nc();
    return x;
}
double slope(int i,int j)
{
    return (double)(f[i]-f[j]+B[i]-B[j])/(double)(A[i]-A[j]);
}
int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        X[i]=read(),P[i]=read(),C[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=A[i-1]+P[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=B[i-1]+X[i]*P[i];
    //for(int i=1;i<=n;i++)
    //{
    //  f[i]=C[i]+X[i]*A[i]-B[i];
    //  for(int j=1;j<i;j++)
    //      f[i]=min(f[i],f[j]+C[i]+X[i]*(A[i]-A[j])-(B[i]-B[j]));
    //}
    //cout<<f[n];
    l=1,r=0,q[++r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slope(q[l+1],q[l])<=X[i])l++;
        int tmp=q[l];
        f[i]=f[tmp]+C[i]+X[i]*(A[i]-A[tmp])-(B[i]-B[tmp]);
        while(l<r&&slope(i,q[r])<slope(q[r],q[r-1]))r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}