[模板] 斜率优化Dp详解

最新推荐文章于 2025-07-10 07:10:03 发布
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分类专栏： 模板 斜率优化 动规Dp 文章标签： 模板 动态规划 斜率优化 信息学 oi
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bill_Yang_2016/article/details/54667902
本文介绍了斜率优化DP的概念，它扩展了单调队列优化，用于解决动态规划中涉及平方项的状态转移方程。通过引例分析HDU3507题目，解释了如何利用斜率优化将O(n^2)的时间复杂度降低到O(n)，并提供了核心算法代码。此外，还列举了一些经典例题，帮助读者深入理解斜率优化的应用。

声明！！！

本文有误，请勿轻易阅读本文或复制代码，内容将于近期更新并上传至我的独立博客，敬请谅解。
update：本文已重写，请访问这里，谢谢。

算法简介

今天xinyue讲了斜率优化，全程懵逼，居然还有这么牛逼的东西。
于是与achen讨论了一下，总结一些东西。
斜率优化Dp其实是单调队列的推广，单调队列、旋转卡壳、斜率优化都利用了单调性降低时间复杂度。

算法简介

举个例子
有些动规状态转移方程可以写成
f[i]=min/max{f[j]+…+x[i]}，省略号中只有与j有关的变量。
我们就可以用单调队列进行优化，使O(n^2)降为O(n)
但是对于这一类的方程：
f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2}
展开后得到
f[i]=min/max{f[j]+x[i]2+x[j]2-2*x[i]*x[j]}
红色部分不仅有j相关的量，还有与i有关的量，从而使单调队列失效。
此时我们就需要用到斜率优化。

引例

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“DP的斜率优化——对不必要的状态量进行抛弃，对不优的状态量进行搁置，使得在常数时间内找到最优解成为可能。斜率优化依靠的是数形结合的思想，通过将每个阶段和状态的答案反映在坐标系上寻找解答的单调性，来在一个单调的答案（下标）队列中O（1）得到最优解。”在呈交给教练的总结里，我这样写到。确实，集训了几天，对斜率优化感受颇多，就此写一下自己的理解。斜率优化的思想在2004年国家集训队员周源大神撰写的《浅谈
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