[模板] 斜率优化Dp详解

最新推荐文章于 2025-07-10 07:10:03 发布
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分类专栏： 模板 斜率优化 动规Dp 文章标签： 模板 动态规划 斜率优化 信息学 oi
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Bill_Yang_2016/article/details/54667902
本文介绍了斜率优化DP的概念，它扩展了单调队列优化，用于解决动态规划中涉及平方项的状态转移方程。通过引例分析HDU3507题目，解释了如何利用斜率优化将O(n^2)的时间复杂度降低到O(n)，并提供了核心算法代码。此外，还列举了一些经典例题，帮助读者深入理解斜率优化的应用。

声明！！！

本文有误，请勿轻易阅读本文或复制代码，内容将于近期更新并上传至我的独立博客，敬请谅解。
update：本文已重写，请访问这里，谢谢。

算法简介

今天xinyue讲了斜率优化，全程懵逼，居然还有这么牛逼的东西。
于是与achen讨论了一下，总结一些东西。
斜率优化Dp其实是单调队列的推广，单调队列、旋转卡壳、斜率优化都利用了单调性降低时间复杂度。

算法简介

举个例子
有些动规状态转移方程可以写成
f[i]=min/max{f[j]+…+x[i]}，省略号中只有与j有关的变量。
我们就可以用单调队列进行优化，使O(n^2)降为O(n)
但是对于这一类的方程：
f[i]=min/max{f[j]+(x[i]-x[j])^2}
展开后得到
f[i]=min/max{f[j]+x[i]2+x[j]2-2*x[i]*x[j]}
红色部分不仅有j相关的量，还有与i有关的量，从而使单调队列失效。
此时我们就需要用到斜率优化。

引例

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DP斜率优化
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DP斜率优化   DP斜率优化，实际上就是以斜率作为比较的基准，使用单调队列优化的方法，使用斜率优化的问题应当具有这样的特征——状态转移方程是一个关于dp[i]和dp[j]的线性方程，也即dp[i]与dp[j]具有线性关系。   这样我们在求解dp[i]时，实际上就是求解一个点(dp[j],j)，使得过该点的dp[i]的值最小，由于斜率是固定的，这导致我们只需要寻找与dp[j]的点形成的凸包相切的那一点作为最优转移点即可，实际求解过程中，我们只需要用单调队列维持边界上的点，再用二分查找的方式确定相切的点即可
斜率优化DP入门(填坑)
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斜率优化作为一种优化DP的方式，目的在于将某类具有单调性的DP方程从O(n^2)优化到O(n) 可以进行斜率优化的方程一般有如下几个特征，假设当前位为i，那么有一个和i,j同时有关的元素f(i, j)，有一个仅与可继承状态j有关的g(j)，可能还有一个常量x 很抽象对不对……所以这里有一道例题（真·例题）：hdu3507Print Article   Print Article   T...
动态规划（1）：线性dp与其前缀优化
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首先，请你记住 dp 这个名字。（加深印象中：dp、dp、dp、dp……）事实上，动态规划只是一种抽象的概念，而这里的定义也只是一个概述。（以下简称 dp）线性 dp，就是指我们借助已有的dp值，线性地去推进得到未知的 dp 值。这可以是一维线性的、二维线性的、三维线性……什么是线性呢？线性，就是指两个变量之间依赖于一种关系，即其函数图像是一条线而并非杂乱无章的。比如，y=2*x，z=，这都是线性关系。不禁想到了松弛操作，松弛是借助已有的最短路得到新的最短路。
斜率优化动态规划DP
01-11
斜率优化DP
斜率优化DP
weixin_30840573的博客
08-03 164
我们知道，有些DP方程可以转化成DP[i]=f[j]+x[i]的形式，其中f[j]中保存了只与j相关的量。这样的DP方程我们可以用单调队列进行优化，从而使得O(n^2)的复杂度降到O(n)。 可是并不是所有的方程都可以转化成上面的形式，举个例子：dp[i]=dp[j]+(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])。如果把右边的乘法化开的话，会得到x[i]*x[j]的项。这就没办法使得f[...
斜率优化的数学方程式推导与详解
03-21
嗯，用户想了解斜率优化的数学方程推导和详细解析，特别是结合动态规划的部分。首先，我需要回顾一下斜率优化的基本概念和应用场景。根据之前的引用[3]，斜率优化通常用于动态规划中，通过维护凸包来优化状态转移的...
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【模板】斜率优化
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03-03 238
斜率优化问题： 一些形如$dp(i)=min\{dp(i),dp(j)+f(i)*(\cdots)\}$的转移方程无法用单调队列优化。然而时间复杂度又不能$O(n^2)$。 这种情况下对于$dp(i)$，假如从$j$转移比从$k$转移更优，$j,k$需要满足一些条件。 我们通过整理这些条件可以将每个$i$抽象成坐标系中的一个点并用单调队列维护上凸/下凸包解决问题。 思路： ...
斜率优化dp
03-21
<think>好的，用户想了解斜率优化动态规划的概念及实现方法。首先，我需要回忆一下动态规划的基础知识，特别是优化方法。动态规划通常有递推和记忆化搜索两种实现方式，而斜率优化属于一种高级的优化技巧，用于降低时间复杂度。 用户提到的参考引用中提到，递推的效率比记忆化搜索高，并且很多优化技巧如滚动数组、单调队列、斜率优化都建立在递推上。所以，斜率优化应该属于递推方法的一种扩展。 接下来，我需要明确斜率优化的核心思想。根据已有的知识，斜率优化通常用于处理状态转移方程中的决策变量，通过分析转移方程的数学形式，将其转化为斜率问题，从而利用单调队列或凸包等数据结构来优化决策过程。 例如，当状态转移方程形如$dp[i] = \min\{dp[j] + f(i,j)\}$，其中$f(i,j)$可以分解为与i和j相关的项，可能可以将其转换为斜率的形式。比如，若$f(i,j)=a[i]*b[j]+c[i]+d[j]$，可能将式子整理为关于$b[j]$和$dp[j]+d[j]$的线性表达式，进而比较不同j值的斜率，选择最优的决策点。 需要解释为什么这种方法有效，可能涉及到维护一个下凸包或上凸包，确保每次决策时选取的j是最优的，从而将时间复杂度从O(n^2)降低到O(n)或O(n log n)。 然后，结合用户提供的引用内容，特别是引用[2]提到的QP优化和DP结合，可能斜率优化在路径规划中的应用，但用户的问题更关注动态规划中的斜率优化，所以需要专注于算法实现的步骤。 需要给出具体的例子，比如任务安排问题，或者最大子序列问题，来展示斜率优化的应用步骤。例如，经典的任务安排问题，其中状态转移方程可以斜率优化，通过维护一个单调队列来快速找到最优的前驱状态。 在实现步骤方面，应该分步骤解释：问题分析、状态转移方程整理为斜率形式、数据结构的选择（如单调队列）、维护凸包的过程、以及最终的时间复杂度分析。 同时，要注意数学表达式的正确格式，使用$$...$$和$...$，并确保LaTeX语法正确。例如，将状态转移方程写成$$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \}$$，然后展开分析。 另外，用户提供的引用中有提到变积分PID和QP优化，虽然这些可能与斜率优化无直接关联，但需要确保不混淆概念，专注于动态规划中的斜率优化部分。 最后，生成相关问题时要围绕斜率优化的应用场景、与其他优化方法的比较、具体实现中的挑战等，帮助用户深入理解。</think>### 斜率优化动态规划详解 #### 概念解析 斜率优化动态规划（Slope Optimization DP）是一种通过**分析状态转移方程的斜率特性**来优化决策过程的方法，可将部分动态规划问题的时间复杂度从$O(n^2)$降至$O(n)$或$O(n \log n)$[^1]。其核心是将状态转移方程转换为**线性关系式**，通过维护**决策点集的凸包**快速筛选最优决策。 #### 算法原理 1. **状态转移方程重构** 设状态转移方程为： $$dp[i] = \min_{j<i}\{ dp[j] + f(i,j) \}$$ 若$f(i,j)$可分解为$A(i) \cdot B(j) + C(i) + D(j)$形式，则方程可改写为： $$dp[i] = C(i) + \min_{j<i}\{ A(i) \cdot B(j) + (dp[j] + D(j)) \}$$ 此时决策变量$j$的优劣可转化为**点$(B(j), dp[j]+D(j))$的斜率比较**。 2. **凸包维护** 通过维护决策点集的**下凸包**（当$A(i)$单调递增）或**上凸包**（当$A(i)$单调递减），使用单调队列/栈快速剔除无效决策点。 #### 实现步骤（以经典任务安排问题为例） **问题描述** 处理$n$个任务，每个任务耗时$t_i$，费用系数$c_i$。目标最小化总费用： $$总费用 = \sum_{i=1}^n (\text{完成时间} \times c_i)$$ **状态转移方程** $$dp[i] = \min_{j<i}\left\{ dp[j] + (S + T_i)(C_i - C_j) \right\}$$ 其中$T_i = \sum_{k=1}^i t_k$, $C_i = \sum_{k=1}^i c_k$，$S$为启动延迟。 **斜率优化过程** 1. **方程变形** 将方程展开为： $$dp[i] = S \cdot C_i + T_i \cdot C_i + \min_{j<i}\{ dp[j] - S \cdot C_j - T_i \cdot C_j \}$$ 令： $$ \begin{cases} k = T_i \\ x_j = C_j \\ y_j = dp[j] - S \cdot C_j \\ \end{cases} $$ 则状态转移简化为： $$dp[i] = (S + T_i)C_i + \min_{j<i}\{ y_j - k x_j \}$$ 2. **决策点筛选** 最优决策点需满足： $$\frac{y_j - y_k}{x_j - x_k} \leq k_i \quad (\text{下凸包条件})$$ 使用单调队列维护凸包，队首即为当前最优决策。 **Python实现示例** ```python def slope_optimization_dp(n, S, t, c): T = [0]*(n+1) # 前缀时间和 C = [0]*(n+1) # 前缀费用和 dp = [0]*(n+1) q = deque([0]) # 单调队列存储决策点索引 for i in range(1, n+1): T[i] = T[i-1] + t[i-1] C[i] = C[i-1] + c[i-1] # 剔除队首非最优决策 while len(q)>=2 and (dp[q[1]] - dp[q[0]]) <= (S + T[i])*(C[q[1]] - C[q[0]]): q.popleft() j = q[0] dp[i] = dp[j] + (S + T[i] - T[j])*(C[i] - C[j]) # 维护下凸包 while len(q)>=2 and (dp[i]-dp[q[-1]])*(C[q[-1]]-C[q[-2]]) <= (dp[q[-1]]-dp[q[-2]])*(C[i]-C[q[-1]]): q.pop() q.append(i) return dp[n] ``` #### 关键优化点 - **时间复杂度**：从$O(n^2)$优化至$O(n)$ - **数据结构**：单调队列实现$O(1)$时间复杂度的决策筛选 - **适用条件**：状态转移方程需满足**决策单调性**且参数满足**斜率单调性** #### 典型应用场景 1. 任务调度问题 2. 最优库存控制 3. 资源分配优化 4. 路径规划中的轨迹平滑（如自动驾驶中的QP优化前处理[^2]）
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