分支界定算法实践(二) 求解01整数优化问题

如果线性整数规划的变量限定为只能0或1，那么称之为01整数线性规划问题，许多工程上的优化问题都可以归纳为01整数规划，这种问题模型很多情况下更便于计算机计算。
01整数规划只是一般整数线性规划的特殊情况，相当于多添加了$x_i\le 1$的约束，所以一般化的分支界定算法也适用。唯一值得修改的地方在于，以$x_i$进行分支时，两个分支的额外约束可以直接写成$x_i=0$和$x_i=1$

这篇文章着重介绍的是解决01整数问题的另一种算法：隐式枚举(Implicit Enumeration)，可以看成是一般分支界定算法的特定变体，相比显式的穷举，引入上下界来避免不必要的枚举。

在进行隐式枚举前，需要首先对原始的规划问题进行规范化操作，将原问题格式化为标准形式：所有约束是小于等于的形式；目标函数的系数都非负；目标函数的变量顺序按系数值从小到大排列。例如下面这个原始的01问题:
minimizeZ=−5x1+7x2+10x3−3x4+x5subject to−x1−3x2+5x3−x4−4x5≥0−2x1−6x2+3x3−2x4−2x5≤−4−2x2+2x3+x4+x5≥2xj∈{ 0,1} \begin{aligned} minimize\quad& Z=-5x_1+7x_2+10x_3-3x_4+x_5\\ subject\ to\quad& -x_1-3x_2+5x_3-x_4-4x_5\geq0 \\ & -2x_1-6x_2+3x_3-2x_4-2x_5\leq-4 \\ & -2x_2+2x_3+x_4+x_5\geq2 \\ & x_j\in\{0,1\} \end{aligned} minimizesubject to​Z=−5x1​+7x2​+10x3​−3x4​+x5​−x1​−3x2​+5x3​−x4​−4x5​≥0−2x1​−6x2​+3x3​−2x4​−2x5​≤−4−2x2​+2x3​+x4​+x5​≥2xj​∈{ 0,1}​
首先将所有形式是大于等于的约束不等式，两边同乘-1，使得所有约束都是小于等于的形式：
minimizeZ=−5x1+7x2+10x3−3x4+x5subject tox1+3x2−5x3+x4+4x5≤0−2x1−6x2+3x3−2x4−2x5≤−42x2−2x3−x4−x5≤−2xj∈{ 0,1} \begin{aligned} minimize\quad& Z=-5x_1+7x_2+10x_3-3x_4+x_5\\ subject\ to\quad& x_1+3x_2-5x_3+x_4+4x_5\leq0 \\ & -2x_1-6x_2+3x_3-2x_4-2x_5\leq-4 \\ & 2x_2-2x_3-x_4-x_5\leq-2 \\ & x_j\in\{0,1\} \end{aligned} minimizesubject to​Z=−5x1​+7x2​+10x3​−3x4​+x5​x1​+3x2​−5x3​+x4​+4x5​≤0−2x1​−6x2​+3x3​−2x4​−2x5​≤−42x2​−2x3​−x4​−x5​≤−2xj​∈{ 0,1}​
然后我们需要让目标函数的所有系数为非负数，在这个例子里$x_1$和$x_4$的系数为负数，我们首先将目标函数里这两个变量的系数乘上-1转为非负数，同时需要在约束中将$x_1$替换成$(1-x_1)$，将$x_4$替换成$(1-x_4)$：
$$\begin{array}{rl}minimize& Z=5x_1+7x_2+10x_3\\ subjectto& \\ & \\ & \\ & \end{array}$$