分支界定算法实践(一) 求解线性整数优化问题

分支界定算法的主要思想是把问题的可行解划分为多个子集，对子集进行系统化的评估直到最优解找到。分支界定只是一种算法框架，因为如何构造子集、在每个子集如何搜索最优解可以按不同情况有不同的具体实现，当用于求解线性整数优化问题时，就需要结合一般的线性优化算法或者求解器来实现。下面先用一个实例来说明算法的思路，然后用代码实现一下。

一家工厂打算购买两种设备，印刷机和车床。老板估计每台印刷机每台可以增加$100的利润，每台车床每天可以增加$150的利润；但同时购买数量也会收到预算和场地面积的约束，每台印刷机或车床的花费和占地如下表所示：

Machine	Required Floor Space	Purchase Price
印刷机	15	$8000
车床	30	$4000

老板的预算是$40000，并且现在有200平方的空地；工厂老板应该怎样购买来让每天的利润最大？
如果我们设$x_1$是购买多少台印刷机，$x_2$是购买多少台车床，那么可以写出优化问题的模型
$$\begin{array}{rl}maximie& Z=100x_1+150x_2\\ subjectto& 8000x_1+4000x_2\le 40000\\ & 15x_1+30x_2\le 200\\ & x_1,x_2\ge 0andinteger\end{array}$$
相比线性优化模型，上面的数学模型就多出必须为整数的约束。如果我们把整数约束去掉，那么可以得到最优解:
$$x_1=2.22,x_2=5.56,andZ=1055.56$$
如果我们把这个解四舍五入，可以得到一个可行的整数解
$$x_1=2,x_2=5,andZ=950$$
但是这个整数解并不是实际的最优解，因为一旦加上整数约束，线性优化模型往往是非凸的，线性优化算法往往无能为力。而分支界定法则是把原问题进行松弛(即去掉整数约束)，以松弛线性模型为根节点不断地划分子问题和更新问题上下界，通过评判上下界来忽略无效子问题和停止算法。首先我们构造根节点，该节点就是上面模型去掉整数约束后的松弛模型，对于这个松弛线性最大化问题，我们构造一下上下界，用它的最优解($Z=1055.56$)作为问题的上界，用四舍五入后的整数解($x_1=2,x_2=5,Z=950$)作为下界；上下界的意义在于，原始整数优化模型的解一定是在上下界之间的，所以对于所有最优解比下界更小的子问题，我们可以直接忽略；而子问题的上界一定不会大于父问题，通过不断分支，这个上下界间的范围将不断缩减。

因为根节点的最优解不是整数解，所以我们选择一个非整数解进行分支。这里我们采取选择离四舍五入值最远的变量，对于根节点，即选择了变量$x_2=5.56$。我们以变量$x_2$为划分点向下分支出两个子问题，分别在根节点的松弛优化模型的基础上新增约束$x_2\le 5$和$x_2\ge 6$，也就是说，对于左侧的子节点2，松弛优化模型为：
$$\begin{array}{rl}maximie& Z=100x_1+150x_2\\ subjectto& 8000x_1+4000x_2\le 40000\\ & 15x_1+30x_2\le 200\\ & x_1,x_2\ge 0\\ & x_2\le 5\end{array}$$
右侧子节点3的问题模型为:
$$\begin{array}{rl}maximie& Z=100x_1+150x_2\\ subjectto& 8000x_1+4000x_2\le 40000\\ & 15x_1+30x_2\le 200\\ & x_1,x_2\ge 0\\ & x_2\ge 6\end{array}$$
对于节点2，可以求得最优解为$x_1=2.5,x_2=5,Z=1000$，而节点3的最优解为$x_1=1.33,x_2=6,Z=1033.33$，这两个解可分别作为这两个节点的上界。可以看到这两个上界都小于根节点的上界，因为每一次分支，都是在原松弛优化模型的基础上新增约束，它的最优解肯定不会好过原问题。再来分析下界，因为这两个子节点的解都不是完整整数解，所以这两个节点下界保持不变，仍是950

我们还没有找到最优可行解，所以要从结点2或者3继续分支。选择哪个结点呢，这里我们按上界更大优先的原则来选取结点，也就是从结点3进行分支。采用这种原则其实是一种间接地剪枝，如果某个结点的最优解是非整数解并且小于当前的全局下界(即上界比下界更小)，那么需要把这个结点及其所有子节点都从搜索数里去除，它们的解肯定不会是最优解了，通过上界越大越优先的原则来选取，这些结点实际上根本不会被选中。结点3的x2x_2