数学建模 分支限界算法求解整数规划原理以及编程实现

引入

线性规划问题(松弛问题)

图解法:
使用图解法求出最优解,再使用四舍五入求出的整数解不满足条件

完全枚举法(穷举法):找出集合内所有满足条件的整数点,再带入不等式中,看是否有最优解

分支限界法

说明:
松弛问题:线性规划问题
ILP:整数规划,在线性规划的基础上对决策变量进行取整
所以线性规划无可行解则整数规划也无可行解

增加约束条件,一个个来,一次增加一个
对原始结果进行向上取整 [4.6]=5
对原始结果进行向下取整 [4.6]=4

流程:
如果添加完约束之后仍然没有找到整数解,那么此时分支限界法已经不能解决此问题了

案例

整数规划的最优解只是针对决策变量x的,与目标值Z无关
所以x1=4;x2=1;z=14.3(是整数规划的最优解)
1)当增加了x1<=3的条件之后,得出的结果中出现了非整数x2=2.67;所以此时还需要对x2向下取整与向上取整,看结果对比

判断:
得到目标值高的先进行分支

matlab代码

branchbound.m

function [newx,newfval,status,newbound] = branchbound(f,A,B,I,x,fval,bound,Aeq,Beq,lb,ub,e)

% 分支定界法求解整数规划
% f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub与线性规划相同
% I为整数限制变量的向量
% x为初始解，fval为初始值

options = optimset('display','off');
[x0,fval0,status0]=linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options);

%递归中的最终退出条件
%无解或者解比现有上界大则返回原解
if status0 <= 0 || fval0 >= bound
    newx = x;
    newfval = fval;
    newbound = bound;
    status = status0;
    return;
end

%是否为整数解,如果是整数解则返回
intindex