概率论知识回顾(二十)
重点:随机变量序列收敛性
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知识回顾
- 什么是以概率 1 收敛?
- 什么是依概率收敛?
- 什么是依分布收敛?
- 三种收敛关系是什么?
知识解答
- 什么是以概率 1 收敛?
- 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,Xn 和 XXX, 如果有 P{limn→+∞Xn=X}=1P\{\lim \limits_{n\rightarrow +\infty}X_n = X\} = 1P{n→+∞limXn=X}=1, 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge1\}{Xn;n≥1} 以概率 1 收敛于 X。记为 Xn⟶a. s.XX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow XXn⟶a. s.X
- 对于 概率 1 收敛来说,允许 XnX_nXn 中的某些元素和 XXX 中不相等,但是这些元素的概率必须为 0。
- 什么是依概率收敛?
- 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,Xn 和 XXX, 如果对任意的正数 ϵ\epsilonϵ 都有 limn→+∞P{∣Xn−X∣<ϵ}=1⟷limn→+∞P{∣Xn−X∣≥ϵ}=0\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n-X| < \epsilon \} = 1 \longleftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n - X| \ge \epsilon\} = 0n→+∞limP{∣Xn−X∣<ϵ}=1⟷n→+∞limP{∣Xn−X∣≥ϵ}=0 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}{Xn;n≥1} 依概率收敛于 XXX, 记为 Xn⟶PXX_n \overset{P} \longrightarrow XXn⟶PX
- 尤其在后面介绍的大数定理以及中心极限定理中,以概率收敛被大量使用。
- 什么是依分布收敛?
- 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,Xn 和 XXX, 它们的分布函数分别是 F1(x),F2(x),...,Fn(x),F(x)F_1(x), F_2(x), ...,F_n(x), F(x)F1(x),F2(x),...,Fn(x),F(x), 如果有 limn→+∞Fn(x)=F(x)\lim \limits_{n \rightarrow +\infty}F_n(x) = F(x)n→+∞limFn(x)=F(x), 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}{Xn;n≥1} 依分布收敛于 XXX, 记为 Xn⟶LXX_n \overset{L} \longrightarrow XXn⟶LX
- 三种收敛关系是什么?
- Xn⟶a. s.X⇒Xn⟶PX⇒Xn⟶LXX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{P} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow XXn⟶a. s.X⇒Xn⟶PX⇒Xn⟶LX
- 设C是常数,Xn⟶PC⇒Xn⟶LCX_n \overset{P} \longrightarrow C \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow CXn⟶PC⇒Xn⟶LC