概率论知识回顾(二十):随机变量序列收敛性

该博客是概率论知识回顾,重点围绕随机变量序列收敛性。包含知识回顾和解答两部分,回顾了以概率 1 收敛、依概率收敛、依分布收敛的概念及三种收敛关系,并给出了相应的定义和表达式,有助于巩固概率论相关知识。

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概率论知识回顾(二十)

重点:随机变量序列收敛性

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 什么是以概率 1 收敛?
  2. 什么是依概率收敛?
  3. 什么是依分布收敛?
  4. 三种收敛关系是什么?

知识解答

  1. 什么是以概率 1 收敛?
    • 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,XnXXX, 如果有 P{lim⁡n→+∞Xn=X}=1P\{\lim \limits_{n\rightarrow +\infty}X_n = X\} = 1P{n+limXn=X}=1, 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge1\}{Xn;n1} 以概率 1 收敛于 X。记为 Xn⟶a. s.XX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow XXna. s.X
    • 对于 概率 1 收敛来说,允许 XnX_nXn 中的某些元素和 XXX 中不相等,但是这些元素的概率必须为 0。
  2. 什么是依概率收敛?
    • 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,XnXXX, 如果对任意的正数 ϵ\epsilonϵ 都有 lim⁡n→+∞P{∣Xn−X∣&lt;ϵ}=1⟷lim⁡n→+∞P{∣Xn−X∣≥ϵ}=0\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n-X| &lt; \epsilon \} = 1 \longleftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n - X| \ge \epsilon\} = 0n+limP{XnX<ϵ}=1n+limP{XnXϵ}=0 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}{Xn;n1} 依概率收敛于 XXX, 记为 Xn⟶PXX_n \overset{P} \longrightarrow XXnPX
    • 尤其在后面介绍的大数定理以及中心极限定理中,以概率收敛被大量使用。
  3. 什么是依分布收敛?
    • 对随机变量序列 X1,X2,...,XnX_1, X_2,..., X_nX1,X2,...,XnXXX, 它们的分布函数分别是 F1(x),F2(x),...,Fn(x),F(x)F_1(x), F_2(x), ...,F_n(x), F(x)F1(x),F2(x),...,Fn(x),F(x), 如果有 lim⁡n→+∞Fn(x)=F(x)\lim \limits_{n \rightarrow +\infty}F_n(x) = F(x)n+limFn(x)=F(x), 就称 {Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}{Xn;n1} 依分布收敛于 XXX, 记为 Xn⟶LXX_n \overset{L} \longrightarrow XXnLX
  4. 三种收敛关系是什么?
    • Xn⟶a. s.X⇒Xn⟶PX⇒Xn⟶LXX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{P} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow XXna. s.XXnPXXnLX
    • 设C是常数,Xn⟶PC⇒Xn⟶LCX_n \overset{P} \longrightarrow C \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow CXnPCXnLC
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