概率论知识回顾（二十）：随机变量序列收敛性

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该博客是概率论知识回顾，重点围绕随机变量序列收敛性。包含知识回顾和解答两部分，回顾了以概率 1 收敛、依概率收敛、依分布收敛的概念及三种收敛关系，并给出了相应的定义和表达式，有助于巩固概率论相关知识。

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概率论知识回顾（二十）

重点：随机变量序列收敛性

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知识回顾

什么是以概率 1 收敛？
什么是依概率收敛？
什么是依分布收敛？
三种收敛关系是什么？

知识解答

什么是以概率 1 收敛？
- 对随机变量序列 $X_1, X_2,..., X_n$ 和 $X$ , 如果有 $P{lim⁡n→+∞Xn=X}=1P\{\lim \limits_{n\rightarrow +\infty}X_n = X\} = 1$ , 就称 ${Xn;n≥1}\{X_n;n\ge1\}$ 以概率 1 收敛于 X。记为 $s.XX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow X$
- 对于概率 1 收敛来说，允许 $X_n$ 中的某些元素和 $X$ 中不相等，但是这些元素的概率必须为 0。
什么是依概率收敛？
- 对随机变量序列 $X_1, X_2,..., X_n$ 和 $X$ , 如果对任意的正数 $ϵ\epsilon$ 都有 $lim⁡n→+∞P{∣Xn−X∣<ϵ}=1⟷lim⁡n→+∞P{∣Xn−X∣≥ϵ}=0\lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n-X| < \epsilon \} = 1 \longleftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow +\infty} P\{|X_n - X| \ge \epsilon\} = 0$ 就称 ${Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}$ 依概率收敛于 $X$ , 记为 $Xn⟶PXX_n \overset{P} \longrightarrow X$
- 尤其在后面介绍的大数定理以及中心极限定理中，以概率收敛被大量使用。
什么是依分布收敛？
- 对随机变量序列 $X_1, X_2,..., X_n$ 和 $X$ , 它们的分布函数分别是 $F_1(x), F_2(x), ...,F_n(x), F(x)$ , 如果有 $lim⁡n→+∞Fn(x)=F(x)\lim \limits_{n \rightarrow +\infty}F_n(x) = F(x)$ , 就称 ${Xn;n≥1}\{X_n;n\ge 1\}$ 依分布收敛于 $X$ , 记为 $Xn⟶LXX_n \overset{L} \longrightarrow X$
三种收敛关系是什么？
- $s.X⇒Xn⟶PX⇒Xn⟶LXX_n \overset{a. \ s.} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{P} \longrightarrow X \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow X$
- 设C是常数， $Xn⟶PC⇒Xn⟶LCX_n \overset{P} \longrightarrow C \Rightarrow X_n \overset{L} \longrightarrow C$