概率论知识回顾（十三）：二维连续性随机变量函数的密度函数

概率论知识回顾（十三）

重点：二维连续性随机变量函数的密度函数

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知识回顾

1. 设 $(X,Y)$ 的密度分布是 $f(x,y)$, 那么 $Z=X+Y$ 的分布函数是什么? 密度分布又是什么？
2. 当 $X,Y$ 相互独立的时候，它们的密度分布这么表示？
3. 若 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2)$, 且 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim ?$。
4. 若 $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\beta )$, 且 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim ?$。
5. $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数怎么表示？相互独立情况下呢？
6. 假设$X_1,X_1,\cdots ,X_n$相互独立，它们的极大值分布和极小值分布是什么？

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知识解答

1. 设 $(X,Y)$ 的密度分布是 $f(x,y)$, 那么 $Z=X+Y$ 的分布函数是什么? 密度分布又是什么？

   • $\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P\left\{\begin{array}{c}X+Y\le Z\end{array}\right\}=P\left\{\begin{array}{c}(X,Y)\in G\end{array}\right\}\\ & ={\iint }_{G}f(x,y)dxdy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{z-x}f(x,y)dydx\end{array}$
     • 其中G表示 x+y < z 的区域
     • 上式变量代换， $y=t-x$ 得：$F_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{z}f(x,t-x)dtdx$
   • 根据分布函数 $F_Z(z)$ 可知， $f_Z(z)=\{\begin{array}{l}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy\end{array}$

2. 当 $X,Y$ 相互独立的时候，它们的密度分布怎么表示？

   • 如果独立，则有 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$因此有

     $$\begin{gathered} f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx \\ {f}_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(z-y)f_Y(y)dy \end{gathered}$$

3. 若 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2)$, 且 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim ?$。

   • ${\sum }_{i=1}^n{a}_i{X}_i\sim N({\sum }_{i=1}^n{a}_i,{\sum }_{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }^2)$

4. 若 $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\beta )$, 且 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，那么 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim ?$。

   • ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma ({\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i,\beta )$

5. $Z=\frac{X}{Y}$ 的密度函数怎么表示？相互独立情况下呢？

   • $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f(yz,y)dy$
   • 独立情况下 $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f_X(yz)f_Y(y)dy$

6. 假设 $X_1,X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立，它们的极大值分布和极小值分布是什么？

   • $\begin{array}{rl}{F}_{\max }(z)& =P\left\{\begin{array}{c}\max \le z\end{array}\right\}\\ & =P\left\{\begin{array}{c}{X}_1\le z,X_2\le z,\cdots ,X_n\le z\end{array}\right\}\\ & =\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(z)\end{array}$
   • $\begin{array}{rl}{F}_{\min }(z)& =P\left\{\begin{array}{c}\min \le z\end{array}\right\}\\ & =1-P\left\{\begin{array}{c}\min >z\end{array}\right\}\\ & =1-P\left\{\begin{array}{c}{X}_1>z,X_2>z,\cdots ,X_n>z\end{array}\right\}\\ & =1-\prod _{i=1}^n[1-F_{X_i}(x)]\end{array}$