连续型随机变量-概率密度函数

注：本篇的表述大部分来自陈希孺先生著《概率论与数理统计》

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连续型随机变量的概率分布不能用像离散型变量那样去描述。原因在于，这种变量的取值充满一个区间，无法一一排出，在应用中求精确到某一点的概率是不可能的。实际上，计算连续型随机变量的概率一般是求随机变量在某个区间内取值的概率，而在理论和实用上较方便的方法，就是所谓“概率密度函数”。

概率密度函数

设连续型随机变量 $X$ 有概率分布函数 $F(x)$ ，则 $F(x)$ 的导数 $f(x)=F'(x)$ 称为 $X$ 的概率密度函数。

“密度函数”这个名次的来由可解释如下：取定一点 $x$ ，按分布函数定义，事件 $\left \{ x<X\leqslant x+h \right \}\left ( h>0,为常数 \right )$ 的概率应为 $F(x+h)-F(x)$ 。$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$ 可解释为在 $x$ 点附近 $h$ 这么长的区间内，单位长占有的概率。令 $h\rightarrow 0$ ，则这个比的极限 $F'(x)=f(x)$ ，也就是在 $x$ 点处（无穷小区间内）单位长的概率，它反映了概率在 $x$ 点处的密集程度。

用概率密度函数求概率

用概率密度函数求概率对应着积分的知识。求变量 $X$ 落在区间 $(x,x+h ]$ 的概率，意味着求 $f(x)$ 在区间 $(x,x+h ]$ 的积分。对应着图形，就是求密度函数曲线下 $(x,x+h ]$ 的面积。
了解了这些基本概念，我们来看一个最基本的连续型随机变量分布：均匀概率分布。

均匀概率分布

若一个连续型概率分布在相同长度间隔的分布概率是等可能的，则称它为均匀概率分布。
均匀概率密度函数：
$f(n) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a\leqslant x\leqslant b \\ 0, & \text{else} \end{cases}$
期望：
$E(x)=\frac{a+b}{2}$
方差：
$Var(x)=\frac{^{(b-a)^{2}}}{12}$