概率论复习（一）：随机变量，分布函数，概率密度

随机试验

• 可以在相同条件下重复进行
• 每次实验的实验结果可能不止一个，而且事先可以明确实验的所有可能结果
• 进行一次实验之前，不能确定哪个结果会出现。

随机变量

• 来源：某些随机试验的结果可以用数表示，如每个月的平均降水量，有些随机实验因为样本空间元素不是一个数，无法用数表示。为了将随机实验的结果和实数对应起来，引入随机变量。
• 定义：随机变量是定义在样本空间的实值单值函数。例如，在抛硬币问题中，我们将硬币正面朝上映射为实数0，硬币反面朝上映射为实数1。在此问题中，随机变量X=1的概率为1/2,X=0的概率也为1/2。
• 随机变量可分为两种，离散型随机变量和连续型随机变量。顾名思义，离散型随机变量是指，该变量的取值是有限个或可列无线个，例如硬币问题中，我们明确知道随机变量是取0和1；连续型随机变量是指，该变量的取值是无限个不可列出，例如灯泡的寿命，所可能的取值是一个区间。

分布律(针对离散型随机变量)

• 对于离散型随机变量，需要知道随机变量的所有可能取值以及每个取值的概率，即每个概率一定大于等于1，且概率之和等于1。可理解为，概率1以一定规律分布中各个可能值上。

分布函数

• 对于非离散型随机变量，由于非离散，就不能用分布率来表示，而是使用分布函数，因为我们考虑的不再是随机变量的单个取值时的概率，而是考虑随机变量取值落在的区间的概率。

定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，

$$F(x)=P\lbrace X<=x \rbrace$$ 称为分布函数。

概率密度

定义：如果对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x),使对于任意实数x有

$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$$ 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)成为概率密度。