概率论知识回顾(九):连续型随机变量,概率分布,概率密度

该博客是概率论知识回顾第九部分,重点围绕连续型随机变量、概率分布和概率密度。先介绍知识回顾步骤,接着列出连续型与离散型随机变量差异、分布函数及性质等问题,随后给出解答,还阐述了均匀、指数、Γ、正态分布的概率密度和分布函数及用途。

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概率论知识回顾(九)

重点: 连续型随机变量,概率分布,概率密度

知识回顾用于巩固知识和查漏补缺。知识回顾步骤:

  1. 查看知识回顾中的问题,尝试自己解答
  2. 自己解答不出来的可以查看下面的知识解答巩固知识。
  3. 对知识解答有疑问的,说明有关这一点的知识或者公式没有理解透彻或者没有记住,要重新翻看书籍。

知识回顾

  1. 连续型随机变量和离散型随机变量有什么不同?
  2. 什么是分布函数?
  3. 分布函数有什么性质?
  4. 什么是概率密度函数?有什么性质?
  5. 均匀分布的概率密度函数和分布函数是什么?
  6. 指数分布的概率密度函数和分布函数是什么?
  7. Γ\GammaΓ 分布的概率密度函数和分布函数是什么?
  8. 正态分布的概率密度函数和分布函数是什么?

知识解答

  1. 连续型随机变量和离散型随机变量有什么不同?
    • 离散型随机变量的取值是有限或可列无穷多个值。而连续性随机变量的取值是不可列无穷多个。
    • 由于连续性随机变量的取值是不可列无穷多个,因此它在每一点的概率取值是零。
  2. 什么是分布函数?
    • 由于我们对连续性随机变量每一点的概率为0,因此我们不能像研究离散型随机变量那样研究每一点的概率。我们需要研究一个区间的概率。
    • 因此就有下面的函数。F(x)=P{X≤x}F(x) = P\begin{Bmatrix} X \le x \end{Bmatrix}F(x)=P{Xx} 表示随机变量 XXX 的分布函数。根据上面的公式我们就可知 P{a<X≤b}=F(b)−F(a)P\begin{Bmatrix} a<X\le b \end{Bmatrix} = F(b) - F(a)P{a<Xb}=F(b)F(a)
  3. 分布函数有什么性质?
    • F(x)F(x)F(x) 单调不减,即 若 x1<x2x_1 < x_2x1<x2F(x1)≤F(x2)F(x_1) \le F(x_2)F(x1)F(x2) , 因为 P{x1<X≤x2}≥0P\begin{Bmatrix} x_1<X \le x_2 \end{Bmatrix} \ge 0P{x1<Xx2}0
    • F(+∞)=1F(−∞)=0F(+\infty) = 1\\F(-\infty) = 0F(+)=1F()=0
    • F(x)F(x)F(x) 右连续, 即 F(x0+0)=F(x0)F(x_0+0) = F(x_0)F(x0+0)=F(x0)
  4. 什么是概率密度函数?有什么性质?
    • 对于XXX 的概率分布函数 F(x)F(x)F(x) 来说,如果有非负函数 f(x)f(x)f(x) 使得 ∫−∞xf(x)=F(x)\int_{-\infty}^{x}f(x) = F(x)xf(x)=F(x) 则称 f(x)f(x)f(x)XXX 的概率密度函数。
    • 性质:{f(x)≥0∫−∞+∞f(x)dx=1P{x1<X≤x2}=∫x1x2f(x)dx\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1 \\ P\begin{Bmatrix} x_1<X\le x_2 \end{Bmatrix} = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx\end{cases}f(x)0+f(x)dx=1P{x1<Xx2}=x1x2f(x)dx
    • lim⁡Δx→0f(x0)Δx\lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(x_0)\Delta xlimΔx0f(x0)Δx 表示随机变量取值为 x0x_0x0 的概率。
    • 另外,即便有多个 f(x)f(x)f(x) 在某些特殊点(F(x)F(x)F(x) 不可导)取值不同,但是如果他们对应于同一个 F(x)F(x)F(x),也把这些 f(x)f(x)f(x) 看做同一概率密度函数。
  5. 均匀分布的概率密度函数和分布函数是什么?
    • 概率密度:f(x)={0x≤a1b−aa<x<b0x≥bf(x) = \begin{cases}0 & x\le a \\ \frac{1}{b-a} & a<x<b \\ 0 & x \ge b\end{cases}f(x)=0ba10xaa<x<bxb
    • 概率分布:F(x)={0x≤ax−ab−aa<x<b1x≥bF(x) = \begin{cases} 0 & x \le a \\ \frac{x-a}{b-a} & a<x<b \\ 1 & x \ge b \end{cases}F(x)=0baxa1xaa<x<bxb
    • 记作:X∼U(a,b)X\sim U(a,b)XU(a,b)
  6. 指数分布的概率密度函数和分布函数是什么?
    • 概率密度: f(x)={λe−λxx≥00x<0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x< 0\end{cases}f(x)={λeλx0x0x<0
    • 概率分布:F(x)={1−e−λxx≥00x<0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x} & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}F(x)={1eλx0x0x<0
    • 指数分布和泊松分布一样具有无记忆性,即P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}P\begin{Bmatrix} X > s+t | X > s\end{Bmatrix} = P\begin{Bmatrix} X > t \end{Bmatrix}P{X>s+tX>s}=P{X>t}
    • 用途: 常用作各种寿命分布的近似。由于它的无记忆性,因此也被称作是永远年轻的分布。
  7. Γ\GammaΓ 分布的概率密度函数是什么?
    • 概率密度:f(x)={βαΓ(α)xα−1e−βxx>00x≤0f(x) =\begin{cases} \frac{\beta ^ \alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha -1}e^{-\beta x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}f(x)={Γ(α)βαxα1eβx0x>0x0
    • 其中 α>0,β>0,Γ(α)=∫0+∞tα−1e−tdt\alpha > 0, \beta > 0, \Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}dtα>0,β>0,Γ(α)=0+tα1etdt
    • 记作 X∼Γ(α,β)X \sim \Gamma(\alpha, \beta)XΓ(α,β)
    • 用途:Γ\GammaΓ 分布在水文统计,排队论和可靠性理论中有广泛性应用。
  8. 正态分布的概率密度函数是什么?
    • 概率密度:f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}f(x)=2πσ1e2σ2(xμ)2
    • 记作 : X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)XN(μ,σ2)
    • 其中,当 μ=0,σ=1\mu = 0, \sigma = 1μ=0,σ=1 时,为标准正态分布,记作 N(0,1),Φ(x)=12πe−x22N(0,1), \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}N(0,1),Φ(x)=2π1e2x2
    • 另外,对于正态分布 F(x)F(x)F(x) 来说, F(x)=Φ(x−μσ)F(x) = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})F(x)=Φ(σxμ)
    • 用途:用途最广,一般来说,如果某一个数量的随机因素比较多,但是这些因素作用不是很大,那么就可以使用正太分布来进行表示,比如身高,体重。
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