连续型随机变量及其概率密度

最新推荐文章于 2022-11-19 12:28:20 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-19 12:28:20 发布

· 853 阅读

版权

文章标签：

13 篇文章

订阅专栏

本文详细解析了连续型随机变量的概率密度函数定义，包括其非负性、积分性质、概率计算规则以及在特定分布（如均匀、指数、正态）中的实例。探讨了概率密度函数的典型特征，如均匀分布的线性表达，指数分布的指数衰减，以及正太分布的钟形曲线特性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

如果对于随机变量 $X$ 的分布函数 $F (x)$ ，存在非负可积函数 $f (x)$ ，使对任意实数 $x$ 有： $\int_{-\infty}^x f(t)dt$

则称 $X$ 为 $\textbf{连续型随机变量}$ ， $f (x)$ 称为 $X$ 的 $\textbf{概率密度函数}$ ，简称 $\textbf{概率密度}$

1、 $\ge 0$

2、 $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = 1$

3、对于任意实数 $x_1,x_2(x_1 \le x_2)$ ， $P(x_1 < X \le x_2) = F(x_2)-F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx$

4、若 $f (x)$ 在点 $x$ 处连续，则有 $F^{'} (x) = f (x)$

	标记方法	概率密度函数	参数	分布函数	实验场景
均匀分布	$X$ ~ $U (a, b)$	$\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{b-a} ，a<x<b\\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right.$	$a < b$	$a\\F(x)=\frac{x-a}{b-a},a\le x \le b \\F(x)=1,x>b$	在 $(a, b)$ 区间取值
指数分布	$X$ ~ $E (A)$	$\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta} ，x>0\\&0 \qquad ,其他\end{aligned}\right.$	$\theta > 0$	$\le x) = F(x) = 1 -e^{-\frac{x}{\theta}}，x > 0$	电子元件寿命
正太分布	$X$ ~ $N(\mu,\sigma^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu,\sigma(\sigma>0)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx$	测量物体长度发生的误差