广义不等式及其性质，极小元与最小元

最新推荐文章于 2023-12-28 16:37:53 发布
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分类专栏： 优化理论 机器学习 文章标签： 广义不等式 极小元 最小元 proper cone Generalized inequali
本文探讨了广义不等式的多种性质及其在数学优化中的应用，引用了斯坦福大学的相关课程资料作为理论支撑。

参考资料：

[1]http://wenku.baidu.com/view/df00e592551810a6f5248682.html?from=search

[2]http://web.stanford.edu/class/ee364a/lectures.html

[3]http://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxslides.pdf


广义不等式的性质：


广义不等式的性质（续）：



凸优化第五章对偶 5.9广义不等式
清风吹斜阳
02-12 949
5.9广义不等式 Lagrange对偶 最优性条件 Lagrange对偶 其中是正常锥。 对于问题中的每个广义不等式，引入Lagrange乘子向量，，并定义相关的Lagrange函数： 对偶函数： 弱对偶性：如果，即广义不等式的Lagrange乘子必须是对偶非负的，则 对偶问题： 弱对偶性始终成立。 在广义不等式的情况下，强对偶性成立的条件：原问题是凸的且满足约束...
凸优化学习笔记 3：广义不等式
Glooow的博客
02-26 3274
个人博客地址 Glooow，欢迎光临~~~ 文章目录1. 正常锥2. 推广不等式3. 最小元与极小元3.1 最小元(minimum)3.2 极小元(minimal)4. 对偶锥5. 最小元与极小元(应用对偶锥定义)5.1 最小元5.2 极小元 1. 正常锥 正常锥(proper cone) K⊆RnK\subseteq R^nK⊆Rn 需要满足 KKK is closed (contains...
广义不等式
qq_39494059的博客
12-28 721
K是凸的，K是闭的，K是实的，K是尖的（即不包含直线，,类似的可以定义严格偏序关系。对于极限运算是保序的，即对于。K是正常锥，则满足下列条件。x是S中的极小元，当且仅当。对于非负数乘是保序的。
最小元和极小元
我不叫明华
07-15 8861
首先来区分一下全序关系和偏序关系； 全序关系： 设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立： 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性) 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性) a ≤ b 或 b ≤ a (完全性) 完全性包括自反性 偏序关系： 设R是集合A上的一个二元关系，若R满...
凸集之广义不等式
pk296256948的博客
06-22 1405
凸集之广义不等式 广义不等式（Generalized inequalities） 1. 正锥体和广义不等式（Proper cones and generalized inequalities） （1）正锥体（Proper cones） 定义：若K为正锥体 应满足以下条件： ①K是凸的； ②K是闭合的； ③K是固体的，这意味着它的内部是非空的。 ④K是指向的，这意味着它不包含线（或等价地，x∈K，−x∈K=⇒x=0）。 一个正锥体K可以用来定义一个广义不等式，它是Rn上的部分排序，它具有R上标准顺序的许多性质
凸优化第二章凸集 2.6对偶锥与广义不等式
清风吹斜阳
01-15 2251
2.6对偶锥与广义不等式 对偶锥 广义不等式的对偶 对偶不等式定义的最小元和极小元 对偶锥 锥K的对偶锥是集合 如上图左图的y是K的对偶锥的一个元素，右图z不是K的对偶锥的元素，几何上看当且仅当-y是K在原点的一个支撑超平面的法向量。 广义不等式的对偶 如果K是正常锥，则K可导出一个广义不等式，并且K的对偶也是正常锥，其对偶也可以导出一个广义不等式。 定义：广义不等式为广义不等...
凸优化第二章凸集 2.4广义不等式
清风吹斜阳
01-15 4573
2.4广义不等式 正常锥与广义不等式 最小元和极小元 正常锥 一个锥K是正常锥需要满足以下几个条件： K是凸的 K是闭的 K是实的，具有非空内部 K是尖的，不包含直线 广义不等式 用正常锥可以定义广义不等式，即上的偏序关系。 严格偏序关系: 当时，这种偏序关系也就是R上实际的 例子：分量不等式： 矩阵不等式:，半正定。 广义不等式的性质： 对于加法保序： 传递...
数学优化与凸集3（斯坦福凸优化笔记3）
xingce_cs的博客
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本节介绍了保凸运算和广义不等式。介绍了如何用保凸运算通过简单的凸集构造复杂的凸集。还介绍了极小值和最小值的概念。
数学优化与凸集4（斯坦福凸优化笔记4）
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本节介绍了分离和支撑超平面，并且给出了对偶锥的概念。在对偶锥的条件下对极小值和最小值的条件进行了探讨。
凸优化第二章凸集 2.4 广义不等式
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12-16 1576
2.4 广义不等式 正常锥与广义不等式 最小元和极小元 正常锥 一个锥K是正常锥需要满足以下几个条件： K是凸的 K是闭的 K是实的，具有非空内部 K是尖的，不包含直线 广义不等式 用正常锥可以定义广义不等式，即上的偏序关系。 严格偏序关系: 当时，这种偏序关系也就是R上实际的 例子：分量不等式： 矩阵不等式:，半正定。 广义不等式的性质： 对于加法保序： 传递性： 非负数乘保序性： 自反的： 反对称的： 极限运算保序： 最小元和极小元 在介绍极小元和最小元之
Convex_Slides_2012
06-23
凸分析与优化 LECTURE SLIDES ON CONVEX ANALYSIS AND OPTIMIZATION BASED ON 6.253 CLASS LECTURES AT THE MASS. INSTITUTE OF TECHNOLOGY CAMBRIDGE
（通俗易懂）极大元，极小元，最大元，最小元，上界，下界，上确界，下确界
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有集合X，画出哈斯图，则： 1.极大元：最靠上的空心点 2.极小元：最靠下的空心点 显然，极大元和极小元可以有多个 3.最大元：最靠上的空心点，没有之一 4.最小元：最靠下的实心点，没有之一 显然，最大元和最小元只能有一个 分界线…………………………………………………………………… 又有一集合E（包含X），为了方便说明，把A集合的点变成实心点，再用空心点画出E-X包括的元素（不懂E-A的文章最后有说明） 5.上界：最靠上的空心点 6.下界：最靠下的空心点 7.上确界：如果上..
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离散数学 极大元，极小元，最大元，最小元，上界，上确界，下界，下确界
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《离散数学》 偏序关系中，极大元，极小元，最大元，最小元，上界，上确界，下界，下确界的详解。
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输入 输入偏序集<A,£>，A中的元素数不超过20个，分别用单个小写的英文字母表示。 输入的第一行给出A中的各个元素，两个相邻的元素之间用逗号隔开。 输入的第二行给出偏序关系£，用有序对的形式给出(只给出哈斯图中的满足覆盖的两个元素形成的有序对)，如<a,b>,<c,a>等等，两个相邻的有序对之间用逗号隔开。 输出 输出A的极小元与极大元。 输出的第一行给出各个极小元，两个相邻元素之间用逗号隔开，输出的元素要求按...
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本节主要讲凸集的概念以及保凸运算，这对于判断优化问题是否是凸的非常有帮助。这一节有一部分概念比较抽象，需要仔细研读。 凸集（Convex Set） 凸集 通过集合的任意两个点的线段还在集合中，即 仿射集（Affine Set） 通过集合的任意两个点的直线还在集合中 线性方程组的解集是一个仿射集。 凸组合(Convex Combination) 凸包(...
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离散数学偏序关系哈斯图上（下）确界极小（大）值最大（小）值 关于关系，看了好多感觉这篇好是不错的，主要记着最后一个总结即可。 偏序关系 哈斯图画法 最小元 最大元 极小元 极大元 上界 下界 上确界 下确界 看完定义 该看看怎么做了 看个题跋 看到这个题 首先 应该排序的 排好了 就不用我们排了 然后就是 画哈斯图了 第一步 画出 点...
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偏序关系的定义 偏序关系就是自反，反对称，传递的序偶集合。其中满足偏序的集合我们一般称为A，偏序关系一般称为R。 A*A产生的序偶有很多，所以我们使用<A,R>去表示满足某个偏序关系的A中元素的子集。 如果使用图像画这个偏序集的画一般使用哈斯图对图像进行化简： 被偏序的元素放在哈斯的底部，偏序的元素放在上层，自反的圆圈不画，箭头的指向也不画，传递的图像也不画。 最大元如何确定 最大元的定义：最大元定义的意思是：是否存在一个元素，使得其他的元素都与其是偏序关系 注意这里
极小元和最小元的区别
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01-07
在网络中的讨论以及学术文献里，极小元和最小元的概念通常出现在偏序集或者更一般的有序集合的研究中。这两个概念虽然听起来相似但有着不同的含义。 ### 极小元 (Minimal Element) 在一个给定的非空集合S及其上的偏序关系≤中，元素m属于S被称为S的一个极小元当且仅当不存在任何其他元素s属于S使得$s \leq m$并且$m \neq s$成立。换句话说，在这个特定的关系下没有比它还小的其它成员（除了可能等于自己）。一个集合可以拥有超过一个极小元；事实上，只要两个极小元之间不可比较，则它们都可以被视为独立的极小元。 ### 最小元 (Minimum Element) 同样地考虑上面提到的那种情况下的同一个集合S，若存在某个元素l也属于此集合，并对于所有的x∈S都有$l ≤ x$成立的话，那么就称作l是整个集合里的唯一最小元。这意味着在这个设定好的排序规则之下，没有任何其他的成员能小于或等于这个特别指出的小值了——它是绝对意义上的“最底部”。 从以上描述可以看出主要差异在于： - **唯一性**：最小元在整个集合范围内是唯一的，而极小元可以在同一集合中有多个。 - **全局对比 vs 局部对比**：要成为最小元，必须能够与其他所有成员相比较并证明自身是最小的那个；相反，成为一个极小元只需要保证没有直接较小者即可。 至于应用场景方面， - 在数据库查询优化领域，人们可能会遇到关于如何选择最优索引的问题，这里涉及到的数据结构往往可以用偏序来建模，从而利用极小元等概念帮助确定最佳方案。 - 计算机科学中的算法设计也会频繁触及此类理论，比如贪心策略的选择或是动态规划状态转移方程的设计都离不开对这类数学性质的理解。 - 组合数学与离散数学也是广泛应用这些概念的地方之一，特别是在处理图论问题时，节点间的优先级排列经常依赖于类似的思想来进行有效求解。
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