凸优化第三章凸函数 3.6关于广义不等式的凸性

3.6关于广义不等式的凸性

定义

K\subseteq R^m是一个正常锥,对应的广义不等式\preceq _K,函数f:R^n\rightarrow R^m是K-凸的,如果\forall x,y,\forall \theta \in[0,1],f(\theta x+(1-\theta)y)\preceq _K \theta f(x)+(1-\theta )f(y)

矩阵凸性

设函数f是对称矩阵值函数,即f:R^n\rightarrow S^m,称函数f关于矩阵的不等式是凸的如果\forall x,y,\forall \theta \in [0,1],f(\theta x+(1-\theta)y)\preceq \theta f(x)+(1-\theta)f(y),这种凸性为矩阵凸性。

其等价的定义是对任意的向量z,标量函数

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