麻省理工线性代数第二讲

课程第二讲的核心内容主要包括三部分:

  1. 消元法
  2. 矩阵初等变换
  3. 可逆矩阵

消元法

消元法,顾名思义就是消去未知数,当只剩下一个未知数的时候,就可以求出该未知数的值,然后再相继求得其他未知数的值。其中主对角线元素为主元,主元不能为0。
考虑方程组如下:
x + 2y + z = 2
3x + 8y + z = 12
0x + 4y + z = 2
用AX=b表示则:
这里写图片描述
将系数矩阵与b放在一起记为增广矩阵,(课程中一开始并未考虑b,这里为方便将b考虑进去。)如下:
这里写图片描述
增广矩阵的第一个元素为主元一,值为1,方程组1成立,此时发现方程组2中还有未知数x的,方程组3不包含x,因而让方程组2-3方程组1,(下文描述为R2-3R1),增广矩阵变成第二个,第二行第二列元素为主元二,值为2,再查看矩阵,发现第三个方程组y的系数不为0,则用R3-2*R2消元,得到矩阵3.
这里写图片描述
这样,第三个方程就变成了5z=-10,可以解出z=-2,再将z=-2带回第二个方程解出y=1,继续回代得到x=2.
这里写图片描述
上文已经说过主元不能为0,但在用消元法解方程时不可避免地会遇到主元为0,如下图,此时将R1和R2互换即可。
这里写图片描述
如果遇到下图时,就需要使用其它办法求解方程了,解决方法以后再讲。
这里写图片描述

矩阵初等变换

初等矩阵:指将单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,初等变换包括:(1)交换 矩阵中某两行(列)的位置。(2)用一个非零 常数k乘以矩阵的某一行(列)(3)将矩阵的某一行(列)乘以常数k后加到另一行(列)上去。
在上一讲中已经介绍,AX=b,就相当A的列向量按X的线性组合得到b.
例如:
这里写图片描述
F其实就是将单位矩阵的第一行和第二行互换,因而也可以记为这里写图片描述
这里写图片描述
如上图可以看出,AX的结果是X对A的列向量进行倍乘然后相加。
而如果是DA,其中D为行向量,则DA计算如下图:
这里写图片描述
从图中可以看出,同样对矩阵A来说,乘在矩阵A的右侧相当于对A的列向量进行操作,乘在矩阵A的左侧相当于对矩阵A的行向量进行操作,对更复杂的X和D也是一样的,这里简称左行右列。
计算FA:
这里写图片描述
F第一行与A的乘积:
这里写图片描述
第二三行类似:
这里写图片描述
因此FA的结果为:
这里写图片描述
可以看出FA=这里写图片描述A的结果就是将A的第二行和第三行交换。类似,AF=A这里写图片描述的结果即为将A的第二列和第一列交换后的结果。
如果矩阵这里写图片描述那么FA的结果就是将A的第二行变成R2-2*R1。

可逆矩阵

只有方阵才可以考虑是否可逆。矩阵A可逆,则意味着用一系列初等矩阵乘A可以得到单位矩阵。

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/67c535f75d4c 在机器人技术中,轨迹规划是实现机器人从一个位置平稳高效移动到另一个位置的核心环节。本资源提供了一套基于 MATLAB 的机器人轨迹规划程序,涵盖了关节空间和笛卡尔空间两种规划方式。MATLAB 是一种强大的数值计算与可视化工具,凭借其灵活易用的特点,常被用于机器人控制算法的开发与仿真。 关节空间轨迹规划主要关注机器人各关节角度的变化,生成从初始配置到目标配置的连续路径。其关键知识点包括: 关节变量:指机器人各关节的旋转角度或伸缩长度。 运动学逆解:通过数学方法从末端执行器的目标位置反推关节变量。 路径平滑:确保关节变量轨迹连续且无抖动,常用方法有 S 型曲线拟合、多项式插值等。 速度和加速度限制:考虑关节的实际物理限制,确保轨迹在允许的动态范围内。 碰撞避免:在规划过程中避免关节与其他物体发生碰撞。 笛卡尔空间轨迹规划直接处理机器人末端执行器在工作空间中的位置和姿态变化,涉及以下内容: 工作空间:机器人可到达的所有三维空间点的集合。 路径规划:在工作空间中找到一条从起点到终点的无碰撞路径。 障碍物表示:采用二维或三维网格、Voronoi 图、Octree 等数据结构表示工作空间中的障碍物。 轨迹生成:通过样条曲线、直线插值等方法生成平滑路径。 实时更新:在规划过程中实时检测并避开新出现的障碍物。 在 MATLAB 中实现上述规划方法,可以借助其内置函数和工具箱: 优化工具箱:用于解决运动学逆解和路径规划中的优化问题。 Simulink:可视化建模环境,适合构建和仿真复杂的控制系统。 ODE 求解器:如 ode45,用于求解机器人动力学方程和轨迹执行过程中的运动学问题。 在实际应用中,通常会结合关节空间和笛卡尔空间的规划方法。先在关节空间生成平滑轨迹,再通过运动学正解将关节轨迹转为笛卡
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