BZOJ 4756 [Usaco2017 Jan]Promotion Counting

本文介绍了一种基于线段树的数据结构算法——线段树合并,并通过一道具体题目进行了解析。该算法适用于动态更新场景,特别是对于区间查询问题非常有效。文中详细解释了如何递归地构建和合并线段树,以及如何查询特定条件下的元素数量。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4756

思路

线段树合并,每次搜索,先递归搜索子树,然后合并它与子树代表的线段树,最后查询线段树中大于当前点权值的值的个数,由于是动态开点,不离散化似乎也可以,但是离散化常数可能会小一点。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

const int maxn=100000;
const int maxd=2000000;

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

struct node
{
  node* son[2];
  int sum;
};

int n,p[maxn+10],cnt_node,tmp[maxn+10],ans[maxn+10];
int pre[maxn+10],now[maxn+10],son[maxn+10],tot;
node tnode[maxd+10];
node* root[maxn+10];

int updata(node* now)
{
  now->sum=0;
  if(now->son[0]!=NULL)
    {
      now->sum+=now->son[0]->sum;
    }
  if(now->son[1]!=NULL)
    {
      now->sum+=now->son[1]->sum;
    }
  return 0;
}

int build(node* now,int l,int r,int v)
{
  if(l==r)
    {
      now->sum=1;
      now->son[0]=now->son[1]=NULL;
      return 0;
    }
  int mid=(l+r)>>1;
  if(v<=mid)
    {
      build(now->son[0]=&tnode[++cnt_node],l,mid,v);
      now->son[1]=NULL;
    }
  else
    {
      now->son[0]=NULL;
      build(now->son[1]=&tnode[++cnt_node],mid+1,r,v);
    }
  updata(now);
  return 0;
}

node* merge(node* a,node* b,int l,int r)
{
  if(a==NULL)
    {
      return b;
    }
  if(b==NULL)
    {
      return a;
    }
  int mid=(l+r)>>1;
  a->son[0]=merge(a->son[0],b->son[0],l,mid);
  a->son[1]=merge(a->son[1],b->son[1],mid+1,r);
  updata(a);
  return a;
}

int getsum(node* now,int l,int r,int askl,int askr)
{
  if((askl<=l)&&(r<=askr))
    {
      return now->sum;
    }
  int mid=(l+r)>>1,res=0;
  if((askl<=mid)&&(now->son[0]!=NULL))
    {
      res+=getsum(now->son[0],l,mid,askl,askr);
    }
  if((mid<askr)&&(now->son[1]!=NULL))
    {
      res+=getsum(now->son[1],mid+1,r,askl,askr);
    }
  return res;
}

inline int ins(int a,int b)
{
  pre[++tot]=now[a];
  now[a]=tot;
  son[tot]=b;
  return 0;
}

int dfs(int u)
{
  int j=now[u];
  while(j)
    {
      int v=son[j];
      dfs(v);
      root[u]=merge(root[u],root[v],1,n);
      j=pre[j];
    }
  ans[u]=getsum(root[u],1,n,p[u]+1,n);
  return 0;
}

int main()
{
  n=read();
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      p[i]=tmp[i]=read();
    }
  std::sort(tmp+1,tmp+n+1);
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      p[i]=std::lower_bound(tmp+1,tmp+n+1,p[i])-tmp;
    }
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      build(root[i]=&tnode[++cnt_node],1,n,p[i]);
    }
  for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
      int a=read();
      ins(a,i);
    }
  dfs(1);
  for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
      printf("%d\n",ans[i]);
    }
  return 0;
}
### BZOJ 4756 题目信息与解决方案 #### 题目描述 BZOJ 4756 是一个关于动态规划的经典问题。该题目要求解决给定条件下的最优化方案,具体来说是在一定约束条件下找到最小化或最大化的目标值。 对于此类问题的一个子解可以这样来定义:设`sum[i]`表示达到某个特定状态所需的最少数量或最大价值等指标,在这里`i≤S`代表总的状态空间大小[^1]。为了计算出某一状态`i`的结果,必须先求得所有更小规模的状态`j(j<i)`对应的最优解。一旦找到了使得累积量等于`i`的最佳配置方式之后,就可以较为轻松地推导出下一个状态即`i+1`的情况了。 #### 动态转移方程构建 基于上述思路建立动态规划模型时,核心在于设计合理的状态表达形式以及相应的状态转移关系: ```python dp = [float('inf')] * (target + 1) dp[0] = 0 for coin in coins: for i in range(coin, target + 1): dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1) if dp[target] != float('inf'): print(f"The minimum number of coins required is {dp[target]}") else: print("No solution exists.") ``` 此代码片段展示了如何通过双重循环遍历硬币面额列表和目标金额范围内的每一个可能数值,从而逐步更新每个位置上所记录的最小所需硬币数目。最终得到的就是能够恰好凑成指定总额所需要的最少硬币数目的解答。 #### 解决方法特点分析 值得注意的是,这种解决问题的方法并不依赖于起始的选择或是路径,而是通过对整个可能性空间进行全面探索后得出结论。这种方法类似于模拟退火算法中的特性之一——其结果不受初始设定的影响,并且能够在理论上保证以一定的概率趋向全局最优解[^3]。
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