codevs 3983 调整(tweak)

题目描述 Description
已给定一个$N$个点$M$条边的有向图，点编号为1到$N$，第$i$条边为 $(u_i,v_i)$， 权值为$w_i$。你可以进行一次操作，使得任意条边的权值变成非负整数。要求进行尽量少的操作次数，使得点1到点$N$的最短路径长度变成$c$。
题目保证，$c$小于在未进行任何操作之前的原图中1到$N$的最短路长度。

输入描述 Input Description
输入文件tweak.in。
第一行三个整数，$N$，$M$和$c$。
接下来$M$行，每一条边的信息$u_i$，$v_i$和$w_i$，第$i$行的表述第$i$条边的信息。 保证不会有自环存在，对于不同的$i$和$j$，$(u_i,v_i)$不同于$(u_j,v_j)$。

输出描述 Output Description
输出文件 tweak.out。
一行一个整数，要进行最少多少次操作才能使得最短路长度变为$c$。

样例输入 Sample Input
3 3 3
1 2 3
2 3 3
1 3 8

样例输出 Sample Output
1

数据范围及提示 Data Size & Hint
N<=100
M<=1000
0<=c<=100000
0<=wi<=10000
30%数据满足 M<=20
50%数据满足 M<=70

思路
显然每次调整都可以视为是把每条边变为0，最终距离小于等于$c$都算可行解。
设$f_{i,j,k}$表示$i$到$j$，将$k$条边变为0后所得到的最短路长度。那么：

$$f_{i,j,0}=min(dist_{i,j},f_{i,k,0}+f_{k,j,0})(1<=k<=n)$$

$$f_{i,j,p}=min(f_{i,x,p-1},f_{i,k,p}+f_{k,j,0})(1<=k<=n,1<=x<=n,x与j有边相连)$$
最终输出时输出满足$f_{1,n,i}<=c$的最小的。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

const int maxn=100;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,c,dist[maxn+1][maxn+1];
int f[maxn+1][maxn+1][maxn+1];

int main()
{
    memset(dist,63,sizeof dist);
    memset(f,63,sizeof f);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        dist[i][i]=0;
        f[i][i][0]=0;
    }
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int a,b,v;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
        dist[a][b]=v;
        f[a][b][0]=std::min(f[a][b][0],dist[a][b]);
    }
    for(int k=1; k<=n; k++)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                f[i][j][0]=std::min(f[i][j][0],f[i][k][0]+f[k][j][0]);
                for(int p=1; p<=n; p++)
                {
                    if(dist[k][j]!=inf)
                    {
                        f[i][j][p]=std::min(f[i][j][p],f[i][k][p-1]);
                    }
                    f[i][j][p]=std::min(f[i][j][p],f[i][k][p]+f[k][j][0]);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        if(f[1][n][i]<=c)
        {
            printf("%d\n",i);
            break;
        }
    }
    return 0;
}