33、LMS与RLS自适应滤波算法的收敛特性解析

LMS与RLS自适应滤波算法的收敛特性解析

1. LMS自适应滤波算法概述

LMS（Least-Mean-Squared）自适应滤波算法具有计算简单的显著优势。其仅需一个方程（如公式10.15），除了估计步长μ外无需进行除法运算。在早期定点嵌入式自适应滤波器中，省去除法运算是关键优势。即便在如今强大的DSP处理器时代，简单的LMS自适应滤波器实现仍十分重要，因为它能处理带宽更宽、采样率更快的信号。

1.1 LMS算法步长与稳定性

LMS算法的步长参数μ由两部分构成：
- μmax = 1 / (2σx²)，其中σx²是输入数据φn + 1的方差。
- μrel是步长分量，它创建了一个具有指数遗忘特性的有效“数据记忆窗口”，窗口长度约为N = 1 / μrel。

为确保LMS算法稳定，稳定的LMS算法最短记忆窗口长度为滤波器长度M + 1，此时μrel = 1 / (M + 1)，且满足μmaxμrel < {φn + 1Hφn + 1}。将LMS步长分离看似增加了复杂度，实则使运行中的LMS算法参数设置更清晰、简便。可使用简单积分器估计μmax，这样在LMS算法运行时能独立调整记忆窗口长度，且无需过多担心自适应滤波器不稳定发散。

1.2 LMS算法公式

LMS系数更新公式如下：
当μrel = 1时，预测输出信号y′n + 1可写为φn + 1Hn，系数更新公式为：
Hn + 1 = Hn + 2μφn + 1(yn + 1 - φn + 1Hn) (10.16)

经过整理并取期望值可得：
E{Hn + 1} = [I - 2μE{φn