7、数学基础：对数、概率与基因密码

数学基础：对数、概率与基因密码

1. 对数与概率乘法

对数最初是作为计算辅助工具被发明的，它将乘法问题转化为加法问题。例如，要计算乘积 $p = x · y$，可以先计算对数之和 $s = \log_b x + \log_b y$，然后取对数的反函数（即 $b$ 的 $s$ 次幂）得到 $p$，因为 $p = x · y = b^{(\log_b x + \log_b y)}$。这一原理曾被用于机械计算尺，在袖珍计算器出现之前发挥了重要作用。

在现代，对数在处理长概率链乘法时尤为重要。概率通常是较小的数，长概率链相乘会得到极小的数，用于描述非常罕见事件的发生概率。然而，在实际计算机中进行浮点数乘法会存在严重的数值稳定性问题，数值误差会逐渐累积，最终掩盖真实值。

而对概率的对数求和在数值上更加稳定，并且能得到相同的结果。设 $p_i$ 为一系列概率，那么 $\prod_{i = 1}^{n} p_i = b^P$，其中 $P = \sum_{i = 1}^{n} \log_b(p_i)$。如果需要得到真实概率，可以对求和结果取指数，但通常情况下这并非必要。当只需比较两个概率大小时，直接比较对数大小即可，因为对数越大，对应的概率也越大。

需要注意的是，除了 $\log(1) = 0$ 外，概率的对数都是负数。例如，$\log_2(\frac{1}{2}) = -1$。这就是为什么在涉及概率对数的方程中，常常会在奇怪的地方出现负号。

2. 对数与比率

比率是形如 $a/b$ 的量，在数据集里经常作为基本特征或由特征对导出的值出现。比率常用于数据归一化，比如根据条件（如某种处理后的重量与初始重量之比）或时间（如今日价格与昨日