13、矩阵算法：从QZ到Sylvester型方程的并行求解与优化

矩阵算法：从QZ到Sylvester型方程的并行求解与优化

1. 多移位QZ算法的并行变体

1.1 积极早期消元技术

积极早期消元技术能够显著降低QZ算法所需的迭代次数。具体操作如下：
1. 对矩阵 (H) 和 (T) 进行划分：
((H, T ) = \left(\begin{bmatrix}H_{11} & H_{12} & H_{13}\H_{21} & H_{22} & H_{23}\0 & H_{32} & H_{33}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}T_{11} & T_{12} & T_{13}\0 & T_{22} & T_{23}\0 & 0 & T_{33}\end{bmatrix}\right))
其中 (H_{32} \in R^{m×1})，(H_{33}, T_{33} \in R^{m×m})，(m) 通常在40到240之间。
2. 将矩阵对 ((H_{33}, T_{33})) 约简为实广义Schur形式。
3. 对 (H_{32}) 应用相应的左正交变换，在 (H) 中引入尖峰。
4. 若尾部 (d \leq m) 个尖峰元素可安全设为零，则对右下角 (d × d) 子矩阵对进行消元；否则，对 ((H_{33}, T_{33})) 的Schur形式进行重排，将未测试的特征值移至右下角。

1.2 并行QZ算法

并行QZ算法基于LAPACK的QZ算法实现，结合了分块串行变体，并采用了以下扩展：
- 使用多个小凸起，以分块方式在 (H)