基于互信息的传感器优化布局

通过最大化互信息在传感器网络中实现协同目标跟踪

摘要

本文研究了传感器网络中的协同目标跟踪问题。针对具有非线性仅航向测量的典型目标跟踪场景，我们首先研究了多个传感器与目标状态之间的互信息。为了提高目标距跟性能，我们分析了传感器代理与待跟踪目标之间的相对位置，并通过互信息最大化推导出传感器网络中传感器的最优位置。给出了仿真结果并进行讨论，以证明所提出方法能够改善优化目标状态的性能。

关键词 ：仅航向；分布式优化；互信息；传感器网络；目标跟踪

1 引言

计算机与信息科学领域的最新进展推动了传感器网络发展的巨大热潮。一组具备通信、感知和计算能力的体在实现环境监测、探索、搜索和距跟等多种任务中展现出巨大效率。为了完成这些任务，传感器通常需要持续跟踪感兴趣的目标，这被称为目标跟踪问题。在目标距跟领域已有大量研究工作，其中卡尔曼滤波（也称为线性二次优化（LQE））是最基本且最基础的方法。卡尔曼滤波的核心是利用随时间观测的测量值（包含统计噪声和其他不准确性）来估计未知变量。随着传感器网络的广泛应用，越来越多的研究人员关注通过收集来自各传感器的测量值协同估计目标状态。通常情况下，组内的所有传感器都需要与基站通信，然后由该基站汇集所有测量信息，并基于卡尔曼滤波对感兴趣目标进行估计。这种方法被称为集中式卡尔曼滤波（CKF），其形成的是集中式控制架构。集中式卡尔曼滤波难以扩展到大量传感器，且对基站故障缺乏鰔棍性。特别是，有必要寻求分布式架构，使得每个传感器仅通过与其局部邻居交换测量信息即可估计感兴趣目标的状态。现有的分布式滤波方法包括但不限于：分布式卡尔曼滤波（DKF）、分布式信息滤波（DIF）、分布式无迹卡尔曼滤波（DUKF）以及分布式粒子滤波（DPF）。尽管这些工作中提出的算法均由各个传感器独立执行，仅通过与本地邻居交换信息从含噪声的测量值中估计目标，但当前的研究主要集中在信息融合的架构上；然而，测量质量尤为重要。理想情况下，应将传感器的布置和优化结构进行最优整合以提升性能。

已有多种方法用于提高测量质量，这些方法可分为两类：一类基于费舍尔信息矩阵（FIM）[10, 11]，另一类基于信息熵[12, 13]。在[10]中，设计了最优传感器布局以最大化费舍尔信息矩阵的行列式，从而提升目标距跟场景中的估计性能。在[11]中，基于测向‐测距测量并利用费舍尔信息矩阵设计了传感器网络的最优部署方案。信息熵定义为随机数据源所产生的信息量的平均值；与费舍尔信息矩阵相比，它在描述目标所包含的信息量方面更为直观。在[13]中，设计了一种估计器，使其到各个局部后验概率分布的KL散度之和最小化。为了获得更优的估计，作者[12]最大化估计状态与联合观测之间的互信息。

在本文中，我们推导了传感器与目标状态之间的互信息，以表示感知性能函数，并设计算法来最大化该函数。此外，我们考虑了一种具有非线性动力学和非完整约束的目标跟踪场景，而非线性目标模型。通过将最优布局视为均匀配置，所有传感器均沿此配置移动，以实现对目标的估计。

本文的结构如下。在第2节中，我们对移动传感器网络下的目标跟踪问题进行了形式化描述，并推导了目标状态与联合观测之间的互信息。在第3节中，通过最大化仅方位测量下的互信息，推导了用于目标跟踪的最优传感器布置。在第4节中，分别进行了包含两个和三个传感器的五组仿真，以验证所提方法的性能。结论与未来工作在第5节中进行了总结与讨论。

2 问题描述

本文假设被跟踪目标为单轮车模型，其离散时间运动学如下：

$$
\begin{cases}
x(k+1) = x(k) + V(k) \cdot T \cdot \cos(\psi(k)) \
y(k+1) = y(k) + V(k) \cdot T \cdot \sin(\psi(k)) \
\psi(k+1) = \psi(k) + T \cdot \omega(k)
\end{cases}
\quad (1)
$$

其中 $[x(k), y(k), \psi(k)]^T$ 表示目标在时刻 $k$ 的状态，$V(k)$ 和 $\omega(k)$ 分别为前进速度和偏航角速度，二者可能受到具有零均值和协方差矩阵 $Q(k)$ 的高斯噪声污染。

假设网络中有 $N$ 个移动传感器，每个传感器均可对目标进行仅方位测量。用 $i$ 号传感器在时刻 $k$ 的测量值表示为

$$
z_{i,k} = \arctan\left[\frac{y(k) - y_i(k)}{x(k) - x_i(k)}\right] + \upsilon_{i,k} = \theta_{i,k} + \upsilon_{i,k} \quad (2)
$$

其中，$x_k = [x(k), y(k)]^T$ 表示在时刻 $k$ 的目标位置。$x_{i,k} = [x_i(k), y_i(k)]^T$ 表示第 $i$ 个传感器在时刻 $k$ 的位置。$\upsilon_{i,k} \sim \mathcal{N}(0, R_{i,k})$ 是具有正定协方差矩阵 $R_{i,k}$ 的零均值高斯白噪声。

互信息 $I(x_k, z_k)$ 和条件熵 $H(x_k|z_k)$ 可以定义如下：

$$
I(x_k, z_k) = \sum_{x_k \in X} \sum_{z_k \in Z} p(x_k) p(z_k|x_k) \log \frac{p(x_k|z_k)}{p(x_k)} \quad (3)
$$

$$
H(x_k|z_k) = -\sum_{x_k \in X} \sum_{z_k \in Z} p(x_k) p(z_k|x_k) \log(p(x_k|z_k)) \quad (4)
$$

间的关系。$p(x_k|z_k)$ 是待估计目标的后验概率密度函数。

贝叶斯估计的规则。由于我们的目标是尽可能准确地感知目标状态，因此我们希望将传感器移动到能够最小化预期不确定性的位置，这等价于最小化由[4]定义的条件熵。$I(x_k, z_k)$ 在[3]中定义，表示目标状态与联合测量之间的互信息。考虑到最小化条件熵等价于最大化互信息，受此启发，我们特别希望通过在接下来的部分中最大化 $I(x_k, z_k)$ 来推导最优配置，以最佳推断目标状态。

3 基于互信息最大化的最优传感器布置

鉴于目标状态与传感器测量之间的互信息反映了我们能够获取的目标信息量，本节将基于仅方位测量，通过最大化互信息来推导传感器的最优布设位置，以提高信息丰富度。

首先，定义在时间 $k$ 由 $N$ 个传感器组成的联合测量

$$
\begin{bmatrix}
z_{1,k} \
z_{2,k} \
\vdots \
z_{N,k}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\theta_{1,k} \
\theta_{2,k} \
\vdots \
\theta_{N,k}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\upsilon_{1,k} \
\upsilon_{2,k} \
\vdots \
\upsilon_{N,k}
\end{bmatrix}
\quad (5)
$$

令 $Z_k = [z_{1,k}, z_{2,k}, \cdots, z_{N,k}]^T$, $\theta_k = [\theta_{1,k}, \theta_{2,k}, \cdots, \theta_{N,k}]^T$, 且 $\upsilon_k = [\upsilon_{1,k}, \upsilon_{2,k}, \cdots, \upsilon_{N,k}]^T$，则公式(5)可写成向量形式为

$$
Z_k = \theta_k + \upsilon_k \quad (6)
$$

由于我们假设 $\upsilon_k$ 为零均值高斯噪声，因此关于 $Z_k$ 的测量似然概率密度函数可以定义为

$$
p(z_k|\theta_k) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^N \sqrt{|R_k|}} \exp\left[-\frac{1}{2}(z_k - \theta_k)^T R_k^{-1} (z_k - \theta_k)\right] \quad (7)
$$

其中 $R_k = E{\upsilon_k \cdot \upsilon_k^T} = \text{diag}{R_1, R_2, \cdots, R_N}$。将方程（4）代入公式(3)，可得

$$
I(x_k, z_k) = H(x_k) - H(x_k|z_k) \quad (8)
$$

其中 $H(x_k)$ 是 $x_k$ 在时刻 $k$ 的信息熵，由时刻 $p(x_{k-1}|z_{k-1})$ 在时刻 $k-1$ 确定。由于 $H(x_k)$ 与时刻 $k$ 的传感器布置无关，因此公式(8)可简化为

$$
I(x_k, z_k) = H_{\text{Constant}} - H(x_k|z_k) \quad (9)
$$

其中 $H_{\text{Constant}}$ 为常数。对于后验状态，概率密度分布 $p(x_k|z_k)$ 可表示为

$$
p(x_k|z_k) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi})^N \sqrt{|P_{k|k}|}} \exp\left[-\frac{1}{2}(x_k - \hat{x} {k|k})^T P {k|k}^{-1} (x_k - \hat{x}_{k|k})\right] \quad (10)
$$

4 仿真结果

在本节中，我们给出一个仿真示例以验证所提出算法的有效性。具体的滤波算法将采用分布式无迹信息滤波器（DUIF），该算法是我们在先前工作[16]中提出的，特别地，传感器布局采用本文当前推导出的方案。假设目标在二维域中以3 m/s的恒定速度运动，初始位置为[20 m, 20 m]ᵀ。本仿真中使用包含两个和三个传感器代理的传感器网络，并采用仅方位测量。目标生成的测量值的测向误差标准差选为 σ = 0.01 rad/s，安全距离或最小观测半径 ρ 设为 100 m。

为了说明我们的方案如何提升 DUIF 的性能，我们分别考虑了具有两个和三个传感器代理的协同目标跟踪示例。传感器代理与目标的路径可分别从图1和图4中看出，我们可以发现传感器在最优观测布局下能够相应地跟踪目标。图3和图6展示了不同传感器代理间相对角度 θᵢ,ⱼ 下的均方根误差（RMSE），结果表明，在最优布局（θᵢ,ⱼ = 90°, θᵢ,ⱼ = 120°, 分别为）时整体性能最佳，验证了所提方法的有效性。图2和图5分别描绘了在不同观测范围 r 下的性能，结果表明，当 r 减小时，位置均方根误差（RMSE）也随之减小，但 r 不应小于最小观测半径，该半径由实际传感器的物理特性决定。

5 结论

本文研究了基于互信息最大化的最优传感器布置问题，并将其应用于协同目标跟踪场景。通过分析传感器代理与目标之间的相对位置，推导出最优布置方案，使每个传感器能够维持自身对目标的信念，并智能地推理如何定位其传感器以进行未来的测量。为验证所提方法的有效性，我们进行了仿真实验，特别针对在二维域中使用两个和三个传感器跟踪单个移动目标的情形。仿真结果表明，与传感器固定不动的情况相比，估计器的性能得到了提升。考虑到本文推导的传感器布局与滤波策略无关，因此我们在先前的工作中采用了已有的分布式无迹信息滤波器，但值得注意的是，对于相同的测量信息，估计性能也可能受到滤波策略的影响。因此，在未来的工作中可以探索其他滤波方法以进一步提高估计性能；此外，本文假设由传感器诱导的拓扑结构是固定不变的，但从多体角度来看，传感器之间的通信问题（如单向通信链路、时变网络拓扑、数据丢失和时间延迟）仍需深入研究。同时，本文未讨论传感器的移动策略，这也将带来诸多挑战性问题，将成为我们后续研究的重点。