8、树上的贪心算法

树上的贪心算法

在处理树结构时，贪心算法有着广泛的应用。本文将详细介绍两种与树相关的贪心算法问题，包括构建最小高度树和霍夫曼编码树，同时会涉及优先队列的相关知识。

1. 最小高度树

首先，我们关注一种名为叶标记树（leaf-labelled tree）的树结构，其定义如下：

data Tree a = Leaf a | Node (Tree a) (Tree a)

叶标记树是一种仅在叶子节点存储信息的二叉树。树的大小定义为叶子节点的数量，高度的定义如下：

size::Tree a →Nat
size (Leaf x) = 1
size (Node u v) = size u + size v

height (Leaf x) = 0
height (Node u v) = 1 + height u max height v

对于大小为 $n$、高度为 $h$ 的叶标记树，有 $h < n \leq 2^h$，所以 $h \geq \lceil \log n \rceil$。树的边缘（fringe）是按从左到右顺序排列的叶子节点标签列表：

fringe::Tree a →[a]
fringe (Leaf x) = [x]
fringe (Node u v) = fringe u ++ fringe v

考虑构建具有给定边缘列表的最小高度