26、基于零空间的输入重构架构与应用

基于零空间的输入重构架构与应用

1. 基于算法的系统转换

1.1 算法步骤

为简化计算，假设 $[C D]$ 具有满行秩，即排除了平凡的输出冗余。设 $C_1 = C$，$D_1 = D$，$y_1 = y$ 且 $k = 1$，具体算法步骤如下：
1. 若 $D_k \neq 0$，计算其奇异值分解（SVD）：$D_k = [U_{k,1} U_{k,2}] \begin{bmatrix} \Sigma_k & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_{k,1}^ \ V_{k,2}^ \end{bmatrix}$，并使用可逆矩阵 $U_k^ $ 进行线性变换：$\tilde{y}_k = U_k^ y_k = \begin{bmatrix} U_{k,1}^ C_k x + \Sigma_k V_{k,1}^ u \ U_{k,2}^* C_k x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{k,1} x + D_{k,1} u \ C_{k,2} x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tilde{y} {k,1} \ \tilde{y} {k,2} \end{bmatrix}$。若 $D_k = 0$，则 $\tilde{y} {k,2} = y_k$ 且不存在 $\tilde{y} {k,1}$。
2. 用 $\tilde{y} {k,2}$ 的时间导数替换它，新的输出方程定义为：$y {k + 1} = \begin{b