15、最优先知不等式与树结构在博弈分析中的应用

最优先知不等式与树结构在博弈分析中的应用

1. 先知不等式相关研究

在经典先知不等式（PI）设定中，稀疏统计信息对随机优化有着重要影响。优化样本框架可以用一个参数 (p \in [0, 1]) 很好地捕捉信息的稀疏性。
- 算法获胜概率推导 ：通过结合事件 ({E^ j} {j\geq2}^k) 和 ({E’ {\ell}} {\ell\geq1})，并利用相关公式，得到算法获胜概率的不等式：
[
\begin{align }
Pr[\text{alg. wins}] &\geq Pr\left[\bigcup_{j = 2}^{k}E^ j \cup \bigcup {\ell\geq1}E’ {\ell}\right]\
&\geq\frac{p}{2} \cdot \sum {j = 1}^{k - 1}\left[\left(1 - \frac{p}{2}\right)^j - \left(1 - \frac{p}{2}\right)^j\right] + \left[\left(1 - \frac{p}{2}\right)^k - \left(1 - \frac{p}{2}\right)^k\right] \cdot \sum_{\ell\geq1}Pr[E_{\ell}]\
&=\frac{p}{2} \cdot \sum_{j = 1}^{k - 1}\left[\left(1 - \frac{p}{2}\right)^j - \left(1 - \frac{p}{2