9、数字电路中的数学与存储逻辑基础

数字电路中的数学与存储逻辑基础

1. 数字电路中的二进制运算与数值表示

1.1 有符号二进制数

有符号二进制数采用补码来表示负数，这种方式无需专门的加法器硬件就能处理负数。以 4 位有符号二进制数为例，其最大十进制值为 7，最小十进制值为 -8，总共可能的值有 16 个。当最高有效位为 1 时，该数值为负数。对于 n 位有符号二进制数，有如下规律：
- 最大值：((2^{n - 1}) - 1)
- 最小值：(-(2^{n - 1}))
- 唯一值的数量：(2^n)

例如 8 位有符号二进制数，最大值为 127，最小值为 -128，唯一值数量为 256。

1.2 无符号二进制数

在某些计算场景中，不需要负数，此时将数字视为无符号数。无符号数的二进制序列始终表示正数或零。同样以 4 位二进制数为例，其不同二进制值对应的有符号和无符号十进制数如下表所示：
| 二进制 | 有符号十进制 | 无符号十进制 |
| ---- | ---- | ---- |
| 0000 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | -8 | 8 |
| 1001 | -7 | 9 |
| 1010 | -6 | 10 |
| 1011 | -5 | 11 |