48、概率与信息理论中的重要概念与不等式

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秃然暴富

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概率与信息理论中的重要概念与不等式

1. 概率表示与不等式推导

1.1 概率表示

在概率研究中，我们会遇到多种概率表示方式。对于联合概率空间 $(XW, p_{XW})$，可以用 $\text{prob}(B(x, w) = 1 : x \overset{p_X}{\leftarrow} X, w \overset{p_{W_x}}{\leftarrow} W_x)$ 来表示 $B(x, w) = 1$ 的概率，这里 $B$ 是 $X \triangleleft!\triangleright W$ 上的布尔谓词。更一般地，对于由迭代连接纤维形成的 $(X_1X_2 \cdots X_r, p_{X_1X_2\cdots X_r})$，可以用 $\text{prob}(B(x_1, \cdots, x_r) = 1 : x_1 \leftarrow X_1, x_2 \leftarrow X_{2,x_1}, \cdots, x_r \leftarrow X_{r,x_1\cdots x_{r - 1}})$ 来表示相应概率。

1.2 重要不等式

1.2.1 引理 B.14

设 $X$ 是实值随机变量，$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是函数，$D \subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$c \in \mathbb{R}$ 且 $c > 0$，使得对于所有 $x \notin D$ 有 $f(x) \geq c$。定义 $D$ 的特征函数 $\chi_D(x)$ 为：
[
\chi_D(x) :=
\begin{cases}
1, & \text{如果 } x \in D \
0, & \text{如果 } x \in \mathbb{R} \setminus D
\end{cases}
]
则有 $c \cdot \text{prob}(X \notin D) + E(f(X) \cdot \chi_D(X)) \leq E(f(X))$。

1.2.2 推论 B.15（k - 阶矩不等式）

对于每个 $k \in \mathbb{N}$ 和 $\varepsilon > 0$，有 $\text{prob}(|X| \geq \varepsilon) \leq \frac{E(|X|^k)}{\varepsilon^k}$。
证明：在引理 B.14 中取 $f(x) := |x|^k$ 和 $D := ]-\varepsilon, +\varepsilon[$，可以观察到对于 $x \notin D$ 有 $f(x) \geq \varepsilon^k$ 且 $E(f(X) \cdot \chi_D(X)) \geq 0$。

1.2.3 定理 B.16（马尔可夫不等式）

设 $X$ 是实值随机变量且 $X \geq 0$，对于每个 $\varepsilon > 0$，有 $\text{prob}(X \geq \varepsilon) \leq \frac{E(X)}{\varepsilon}$。这是推论 B.15 中 $k = 1$ 的特殊情况。

1.2.4 定义 B.17（方差）

设 $X$ 是实值随机变量，$(X - E(X))^2$ 的期望值 $E((X - E(X))^2)$ 称为 $X$ 的方差，简记为 $\text{Var}(X)$。

1.2.5 定理 B.18（切比雪夫不等式）

设 $X$ 是实值随机变量，方差为 $\sigma^2$，对于每个 $\varepsilon > 0$，有 $\text{prob}(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。这是推论 B.15 中 $k = 2$ 应用于随机变量 $X - E(X)$ 的情况。

1.2.6 推论 B.19

设 $X$ 是实值随机变量，$a, r \in \mathbb{R}$ 且 $a \geq 1$，则 $\text{prob}(X \geq r) \leq E(a^{X - r})$。
证明：在引理 B.14 中取 $f(x) := a^{x - r}$ 和 $D := ]-\infty, r[$，可以观察到对于 $x \notin D$ 有 $f(x) \geq 1$ 且 $E(f(X) \cdot \chi_D(X)) \geq 0$。

1.3 凸函数与相关不等式

1.3.1 定义 B.20（凸函数）

设 $D \subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$f : D \to \mathbb{R}$ 是实值函数。如果对于所有 $x_1, x_2 \in D$ 和 $\lambda \in [0, 1]$，有 $f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$，则称 $f$ 为凸函数。如果对于 $0 < \lambda < 1$ 和 $x_1 \neq x_2$ 不等式严格成立，则称 $f$ 为严格凸函数。例如，$-\log_2 : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ 是严格凸函数。

1.3.2 命题 B.21（詹森不等式）

设 $D \subseteq \mathbb{R}$ 是区间，$f : D \to \mathbb{R}$ 是凸函数，$(p_1, \cdots, p_n)$ 是概率分布，$x_1, x_2, \cdots, x_n \in D$，则 $f(\sum_{i = 1}^n p_i x_i) \leq \sum_{i = 1}^n p_i f(x_i)$。如果 $f$ 是严格凸函数，则等式成立当且仅当所有 $p_i \neq 0$ 的 $x_i$ 都相等。

1.3.3 推论 B.22

设 $f : D \to \mathbb{R}$ 是凸函数，$X$ 是取值在 $D$ 中的随机变量，则 $E(f(X)) \geq f(E(X))$。如果 $f$ 是严格凸函数，则等式成立当且仅当 $X$ 是常数。

1.3.4 推论 B.23（吉布斯不等式）

设 $(p_1, \cdots, p_n)$ 和 $(q_1, \cdots, q_n)$ 是概率分布，假设对于 $1 \leq i \leq n$ 有 $p_i \neq 0$ 和 $q_i \neq 0$，则 $-\sum_{i = 1}^n p_i \log_2(p_i) \leq -\sum_{i = 1}^n p_i \log_2(q_i)$，等式成立当且仅当 $p_i = q_i$，$1 \leq i \leq n$。

2. 大数定律

2.1 命题 B.24（弱大数定律）

设 $S_1, \cdots, S_t$ 是两两独立的实值随机变量，具有共同的期望值 $\alpha$ 和共同的方差 $\sigma^2$，则对于每个 $\varepsilon > 0$，有 $\text{prob}(\left|\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t S_i - \alpha\right| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{t\varepsilon^2}$。
证明步骤如下：
1. 设 $Z = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t S_i$，则 $E(Z) = \alpha$。
2. 计算 $Var(Z)$：
[
\begin{align }
Var(Z) &= E((Z - \alpha)^2) \
&= E\left(\left(\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t (S_i - \alpha)\right)^2\right) \
&= \frac{1}{t^2} E\left(\sum_{i = 1}^t (S_i - \alpha)^2 + \sum_{i \neq j} (S_i - \alpha) \cdot (S_j - \alpha)\right) \
&= \frac{1}{t^2} \sum_{i = 1}^t E((S_i - \alpha)^2) + \sum_{i \neq j} E((S_i - \alpha) \cdot (S_j - \alpha)) \
&= \frac{1}{t^2} \sigma^2 t = \frac{\sigma^2}{t}
\end{align }
]
这里利用了 $S_i$ 和 $S_j$ 独立时 $E((S_i - \alpha) \cdot (S_j - \alpha)) = E(S_i - \alpha) \cdot E(S_j - \alpha)$ 以及 $E(S_i - \alpha) = E(S_i) - \alpha = 0$。
3. 由切比雪夫不等式可得 $\text{prob}(|Z - \alpha| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{t\varepsilon^2}$，从而证明了弱大数定律。

2.2 推论 B.25

设 $S_1, \cdots, S_t$ 是两两独立的二元随机变量，具有共同的期望值 $\alpha$ 和共同的方差 $\sigma^2$，则对于每个 $\varepsilon > 0$，有 $\text{prob}(\left|\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t S_i - \alpha\right| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{1}{4t\varepsilon^2}$。
证明：因为 $S_i$ 是二元的，所以 $S_i = S_i^2$，可得 $Var(S_i) = E((S_i - \alpha)^2) = E(S_i^2 - 2\alpha S_i + \alpha^2) = \alpha - 2\alpha^2 + \alpha^2 = \alpha(1 - \alpha) \leq \frac{1}{4}$，然后应用命题 B.24。

2.3 推论 B.26

设 $S_1, \cdots, S_t$ 是两两独立的二元随机变量，具有共同的期望值 $\alpha = \frac{1}{2} + \varepsilon$（$\varepsilon > 0$），则 $\text{prob}(\sum_{i = 1}^t S_i > \frac{t}{2}) \geq 1 - \frac{1}{4t\varepsilon^2}$。
证明：如果 $\left|\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t S_i - \alpha\right| < \varepsilon$，则 $\frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t S_i > \frac{1}{2}$，由推论 B.25 可得结论。

3. 距离度量

3.1 定义 B.27（统计距离）

设 $p$ 和 $\tilde{p}$ 是有限集 $X$ 上的概率分布，$p$ 和 $\tilde{p}$ 之间的统计距离定义为 $\text{dist}(p, \tilde{p}) := \frac{1}{2} \sum_{x \in X} |p(x) - \tilde{p}(x)|$。统计距离在 $X$ 上的分布集合上定义了一个度量。

3.2 引理 B.28

有限集 $X$ 上概率分布 $p$ 和 $\tilde{p}$ 之间的统计距离是 $X$ 中事件概率之间的最大距离，即 $\text{dist}(p, \tilde{p}) = \max_{E \subseteq X} |p(E) - \tilde{p}(E)|$。
证明步骤如下：
1. 定义 $E_1 := {x \in X | p(x) > \tilde{p}(x)}$，$E_2 := {x \in X | p(x) < \tilde{p}(x)}$，$E_3 := {x \in X | p(x) = \tilde{p}(x)}$。
2. 因为 $p(X) - \tilde{p}(X) = 0$ 且 $p(E_3) - \tilde{p}(E_3) = 0$，所以 $p(E_2) - \tilde{p}(E_2) = -(p(E_1) - \tilde{p}(E_1))$。
3. 计算统计距离：
[
\begin{align }
\text{dist}(p, \tilde{p}) &= \frac{1}{2} \sum_{x \in X} |p(x) - \tilde{p}(x)| \
&= \frac{1}{2} \left(\sum_{x \in E_1} (p(x) - \tilde{p}(x)) - \sum_{x \in E_2} (p(x) - \tilde{p}(x))\right) \
&= \frac{1}{2}(p(E_1) - \tilde{p}(E_1) - (p(E_2) - \tilde{p}(E_2))) \
&= \max_{E \subseteq X} |p(E) - \tilde{p}(E)|
\end{align }
]

3.3 引理 B.29

设 $(XW, p_{XW})$ 是联合概率空间，$p_X$ 是 $X$ 上的诱导分布，$\text{prob}(w|x)$ 是给定 $x$ 时 $w$ 的条件概率，$\tilde{p} X$ 是 $X$ 上的另一个分布，定义 $\text{prob}(x, w) := \tilde{p}_X(x) \cdot \text{prob}(w|x)$ 得到 $XW$ 上的另一个概率分布 $\tilde{p} {XW}$，则 $\text{dist}(p_{XW}, \tilde{p} {XW}) \leq \text{dist}(p_X, \tilde{p}_X)$。
证明：因为 $|p {XW}(x, w) - \tilde{p}_{XW}(x, w)| = |(p_X(x) - \tilde{p}_X(x)) \cdot \text{prob}(w|x)| \leq |p_X(x) - \tilde{p}_X(x)|$，由定义 B.27 可得结论。

3.4 多项式接近的分布

3.4.1 定义 B.30

设 $J = (J_k) {k \in \mathbb{N}}$ 是带安全参数 $k$ 的索引集，$(X_j) {j \in J}$ 是集合族，$p = (p_j) {j \in J}$ 和 $\tilde{p} = (\tilde{p}_j) {j \in J}$ 是 $(X_j)_{j \in J}$ 上的概率分布族。如果对于每个正多项式 $P$，存在 $k_0 \in \mathbb{N}$，使得对于所有 $k \geq k_0$ 和 $j \in J_k$ 有 $\text{dist}(p_j, \tilde{p}_j) \leq \frac{1}{P(k)}$，则称 $p$ 和 $\tilde{p}$ 是多项式接近的。

3.4.2 引理 B.31

设 $J_k := {n | n = rs, r, s \text{ 是素数}, |r| = |s| = k, r \neq s}$ 和 $J := \bigcup_{k \in \mathbb{N}} J_k$，则分布 $x \overset{u}{\leftarrow} \mathbb{Z} n$ 和 $x \overset{u}{\leftarrow} \mathbb{Z}_n^ $ 是多项式接近的。
证明步骤如下：
1. 设 $p_n$ 是 $\mathbb{Z}_n$ 上的均匀分布，$\tilde{p}_n$ 是 $x \overset{u}{\leftarrow} \mathbb{Z}_n^ $ 的分布，则 $p_n(x) = \frac{1}{n}$ 对于所有 $x \in \mathbb{Z}_n$，$\tilde{p}_n(x) = \frac{1}{\varphi(n)}$ 如果 $x \in \mathbb{Z}_n^ $，$\tilde{p}_n(x) = 0$ 如果 $x \in \mathbb{Z}_n \setminus \mathbb{Z}_n^ $。
2. 计算统计距离：
[
\begin{align }
\text{dist}(p_n, \tilde{p} n) &= \frac{1}{2} \sum {x \in \mathbb{Z} n} |p_n(x) - \tilde{p}_n(x)| \
&= \frac{1}{2} \left(\sum {x \in \mathbb{Z}_n^ } \left(\frac{1}{\varphi(n)} - \frac{1}{n}\right) + \sum {x \in \mathbb{Z}_n \setminus \mathbb{Z}_n^ } \frac{1}{n}\right) \
&= 1 - \frac{\varphi(n)}{n} \
&= 1 - \prod_{p|n} \frac{p - 1}{p}
\end{align }
]
3. 如果 $n = rs \in J_k$，则 $\text{dist}(p_n, \tilde{p}_n) = 1 - \frac{(r - 1)(s - 1)}{rs} = \frac{1}{r} + \frac{1}{s} - \frac{1}{rs} \leq 2 \cdot \frac{1}{2^{k - 1}} = \frac{1}{2^{k - 2}}$，从而证明了引理。

3.5 多项式有界的分布

3.5.1 定义 B.33

设 $J = (J_k) {k \in \mathbb{N}}$ 是带安全参数 $k$ 的索引集，$(X_j) {j \in J}$ 是集合族，$p = (p_j) {j \in J}$ 和 $\tilde{p} = (\tilde{p}_j) {j \in J}$ 是 $(X_j)_{j \in J}$ 上的概率分布族。如果存在正多项式 $Q$，使得对于所有 $k \in \mathbb{N}$，$j \in J_k$ 和 $x \in X_j$ 有 $p_j(x) Q(k) \geq \tilde{p}_j(x)$，则称 $\tilde{p}$ 是多项式有界于 $p$ 的。

3.5.2 命题 B.34

设 $J = (J_k) {k \in \mathbb{N}}$ 是带安全参数 $k$ 的索引集，$(X_j) {j \in J}$ 是集合族，$p = (p_j) {j \in J}$ 和 $\tilde{p} = (\tilde{p}_j) {j \in J}$ 是 $(X_j) {j \in J}$ 上的概率分布族，假设 $\tilde{p}$ 是多项式有界于 $p$ 的，$(E_j) {j \in J}$ 是事件族，其关于 $p$ 的概率是可忽略的（即对于每个正多项式 $P$，存在 $k_0 \in \mathbb{N}$，使得对于 $k \geq k_0$ 和 $j \in J_k$ 有 $p_j(E_j) \leq \frac{1}{P(k)}$），则事件 $(E_j)_{j \in J}$ 关于 $\tilde{p}$ 的概率也是可忽略的。
证明：存在多项式 $Q$ 使得 $\tilde{p}_j \leq Q(k) \cdot p_j$ 对于 $j \in J_k$。对于正多项式 $R$，存在 $k_0$ 使得对于 $k \geq k_0$ 和 $j \in J_k$ 有 $p_j(E_j) \leq \frac{1}{R(k)Q(k)}$，从而 $\tilde{p}_j(E_j) \leq Q(k) \cdot p_j(E_j) \leq \frac{1}{R(k)}$。

3.6 相关概念总结

概念	定义
统计距离	$\text{dist}(p, \tilde{p}) := \frac{1}{2} \sum_{x \in X}
多项式接近	对于每个正多项式 $P$，存在 $k_0 \in \mathbb{N}$，使得对于所有 $k \geq k_0$ 和 $j \in J_k$ 有 $\text{dist}(p_j, \tilde{p}_j) \leq \frac{1}{P(k)}$
多项式有界	存在正多项式 $Q$，使得对于所有 $k \in \mathbb{N}$，$j \in J_k$ 和 $x \in X_j$ 有 $p_j(x) Q(k) \geq \tilde{p}_j(x)$

3.7 距离度量流程

graph LR
    A[定义概率分布 p 和 \tilde{p}] --> B[计算统计距离 dist(p, \tilde{p})]
    B --> C{判断是否多项式接近}
    C -- 是 --> D[分析相关性质]
    C -- 否 --> E[进一步研究差异]
    D --> F[考虑多项式有界情况]
    E --> G[调整分布或参数]
    F --> H[研究事件概率变化]
    G --> B

4. 信息理论基础概念

4.1 熵的定义

4.1.1 定义 B.35（熵）

设 $X$ 是有限概率空间，$X$ 的熵（或不确定性）定义为：
[
H(X) := \sum_{x \in X, \text{prob}(x) \neq 0} \text{prob}(x) \cdot \log_2\left(\frac{1}{\text{prob}(x)}\right) = -\sum_{x \in X, \text{prob}(x) \neq 0} \text{prob}(x) \cdot \log_2(\text{prob}(x))
]
熵可以理解为随机实验 $X$ 执行时平均获得的信息量。例如，抛一枚公平硬币，出现正面或反面的概率均为 $\frac{1}{2}$，则获得的信息量为 $1$ 比特；抛一枚公平骰子，每个结果的概率为 $\frac{1}{6}$，每个结果相关的信息量约为 $\log_2(6) \approx 2.6$ 比特。

4.1.2 命题 B.36

设有限概率空间 $X$ 包含 $n$ 个元素，$X = {x_1, \cdots, x_n}$，则有：
1. $0 \leq H(X) \leq \log_2(n)$。
2. $H(X) = 0$ 当且仅当存在某个 $x \in X$ 使得 $\text{prob}(x) = 1$（因此 $X$ 中其他元素的概率为 $0$）。
3. $H(X) = \log_2(n)$ 当且仅当 $X$ 上的分布是均匀的。

4.2 联合熵、条件熵与互信息

4.2.1 定义 B.37

设 $X$ 和 $Y$ 是具有联合分布 $XY$ 的有限概率空间：
- 联合熵 $H(XY)$ 定义为：$H(XY) := -\sum_{x \in X, y \in Y} \text{prob}(x, y) \cdot \log_2(\text{prob}(x, y))$。
- 条件熵 $H(X|y)$ 定义为：$H(X|y) := -\sum_{x \in X} \text{prob}(x|y) \cdot \log_2(\text{prob}(x|y))$。
- 条件熵 $H(X|Y)$ 定义为：$H(X|Y) := \sum_{y \in Y} \text{prob}(y) \cdot H(X|y)$。
- 互信息 $I(X; Y)$ 定义为：$I(X; Y) = H(X) - H(X|Y)$。

4.2.2 命题 B.38

设 $X$ 和 $Y$ 是具有联合分布 $XY$ 的有限概率空间，则有：
1. $H(X|Y) \geq 0$。
2. $H(XY) = H(X) + H(Y|X)$。
3. $H(XY) \leq H(X) + H(Y)$。
4. $H(Y) \geq H(Y|X)$。
5. $I(X; Y) = I(Y; X) = H(X) + H(Y) - H(XY)$。
6. $I(X; Y) \geq 0$。

4.2.3 命题 B.39

设 $X$ 和 $Y$ 是具有联合分布 $XY$ 的有限概率空间，以下陈述等价：
1. $X$ 和 $Y$ 是独立的。
2. 对于 $x \in X$ 和 $y \in Y$，有 $\text{prob}(y|x) = \text{prob}(y)$。
3. 对于 $x \in X$ 和 $y \in Y$，有 $\text{prob}(x|y) = \text{prob}(x)$。
4. 对于 $x \in X$ 和 $y, y’ \in Y$，有 $\text{prob}(x|y) = \text{prob}(x|y’)$。
5. $H(XY) = H(X) + H(Y)$。
6. $H(Y) = H(Y|X)$。
7. $I(X; Y) = 0$。

4.3 条件互信息

4.3.1 定义 B.40

设 $X$、$Y$ 和 $Z$ 是具有联合分布 $XYZ$ 的有限概率空间，条件互信息 $I(X; Y|Z)$ 定义为：$I(X; Y|Z) := H(X|Z) - H(X|YZ)$。

4.3.2 定义 B.41

设 $X$、$Y$ 和 $Z$ 是具有联合分布 $XYZ$ 的有限概率空间，$z \in Z$，则：
- $H(X|Y, z) := \sum_{y \in Y} \text{prob}(y|z) \cdot H(X|y, z)$。
- $I(X; Y|z) := H(X|z) - H(X|Y, z)$。

4.3.3 命题 B.42

设 $X$、$Y$ 和 $Z$ 是具有联合分布 $XYZ$ 的有限概率空间，$z \in Z$，则有：
1. $H(X|YZ) = \sum_{z \in Z} \text{prob}(z) \cdot H(X|Y, z)$。
2. $I(X; Y|Z) = \sum_{z \in Z} \text{prob}(z) \cdot I(X; Y|z)$。

4.3.4 命题 B.43

4.3.5 命题 B.44

设 $X$、$Y$ 和 $Z$ 是具有联合分布 $XYZ$ 的有限概率空间，以下陈述等价：
1. 在给定 $z$ 的条件下，$X$ 和 $Y$ 是独立的，即对于所有 $(x, y, z) \in XYZ$，有 $\text{prob}(x, y|z) = \text{prob}(x|z) \cdot \text{prob}(y|z)$。
2. $H(XY|Z) = H(X|Z) + H(Y|Z)$。
3. $H(Y|Z) = H(Y|XZ)$。
4. $I(X; Y|Z) = 0$。

4.4 信息理论概念总结

概念	定义
熵	$H(X) := -\sum_{x \in X, \text{prob}(x) \neq 0} \text{prob}(x) \cdot \log_2(\text{prob}(x))$
联合熵	$H(XY) := -\sum_{x \in X, y \in Y} \text{prob}(x, y) \cdot \log_2(\text{prob}(x, y))$
条件熵	$H(X
互信息	$I(X; Y) = H(X) - H(X
条件互信息	$I(X; Y

4.5 信息理论计算流程

graph LR
    A[定义概率空间 X、Y、Z] --> B[计算熵 H(X)、H(Y)、H(Z)]
    B --> C[计算联合熵 H(XY)、H(XZ)、H(YZ)、H(XYZ)]
    C --> D[计算条件熵 H(X|Y)、H(X|Z)、H(Y|X) 等]
    D --> E[计算互信息 I(X; Y)、I(X; Z)、I(Y; Z)]
    E --> F[计算条件互信息 I(X; Y|Z) 等]
    F --> G[分析独立性和信息关系]

5. 总结

本文围绕概率与信息理论展开，详细介绍了概率表示、重要不等式、大数定律、距离度量以及信息理论基础概念等内容。
- 概率表示 ：多种概率表示方式为不同场景下的概率计算提供了便利。
- 不等式推导 ：马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等重要不等式在概率分析中具有重要作用。
- 大数定律 ：弱大数定律揭示了大量独立随机变量的均值与期望值之间的关系。
- 距离度量 ：统计距离、多项式接近和多项式有界等概念有助于分析概率分布之间的差异。
- 信息理论 ：熵、联合熵、条件熵和互信息等概念为信息的量化和分析提供了工具。

通过对这些概念和理论的深入理解，我们可以更好地处理和分析随机现象，为相关领域的研究和应用提供坚实的理论基础。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法和工具，以解决各种概率和信息相关的问题。