6、计算理论、概率与信息编码：从基础概念到前沿探索

计算理论、概率与信息编码：从基础概念到前沿探索

1. 基础概念与计算理论

1.1 SAT问题

SAT问题是判定一个给定的合取范式布尔公式是否可满足。它是第一个被证明为NP完全的自然问题。对于一个布尔公式，非确定性图灵机可以猜测一个正确的真值赋值并进行验证，这只需要线性时间。但如果要确定性地搜索一个满足的真值赋值，需要测试(2^n)个布尔向量，这通常需要指数级的时间。

1.2 多项式层次结构

多项式层次结构由一系列语言类组成，如(\Sigma_p^1 = NP)，(\Delta_p^1 = P)，(\Sigma_p^{i + 1} = NP^{\Sigma_p^i})，(\Delta_p^{i + 1} = P^{\Sigma_p^i})，(\Pi_p^i = {\overline{L} : L \in \Sigma_p^i})。

1.3 递归函数相关性质

• 可数性 ：存在可数无穷多个部分递归函数和可数无穷多个（全）递归函数。
• 非部分递归函数 ：可以通过类似康托尔对角线论证的方法证明存在非部分递归函数。
• s - m - n定理 ：对于任意(m, n \geq 1)，存在一个递归函数(\psi = s_{n}^{(m + 1)})，使得(\varphi_{x}^{(m + n)}(y_1, \ldots, y_m, z_1, \ldots, z_n) = \varphi_{\psi(x, y_1, \ldots, y_m)}^{(n)}(z_