47、椭圆曲线与概率信息理论

椭圆曲线与概率信息理论

1. 椭圆曲线相关内容

1.1 标量 - 点乘法

在椭圆曲线的运算中，指数运算可通过平方 - 乘法算法高效执行，而标量 - 点乘法可以使用快速指数运算的加法版本，即双倍 - 加法算法。设 (r = r_{n - 1} \cdots r_1r_0) 是数 (r \in N) 的二进制表示，且 (r_{n - 1} = 1)，则 (rP) 可以通过以下步骤计算：
[
\begin{align }
rP&=(2^{n - 1} \cdot r_{n - 1} + \cdots + 2 \cdot r_1 + r_0)P\
&=(2^{n - 1} \cdot r_{n - 1} + \cdots + 2 \cdot r_1)P + r_0P\
&=2((2^{n - 2} \cdot r_{n - 1} + \cdots + r_1)P) + r_0P\
&\cdots\
&=2(\cdots (2P + r_{n - 2}P) + \cdots + r_1P) + r_0P
\end{align }
]
以下是双倍 - 加法算法的代码实现：

Algorithm A.116.
int Multiply(point P, bitString r_{n - 1} \cdots r_0)
1. Q ← P
2. for i ← n - 2 down to 0 do
3.     Q ← 2Q + r_iP
4. return Q

乘法 (rP) 可以通过 (l) 次点双倍和 (l) 次点加法完成，其中 (l = \lfloor \log_2 r \rfloor)。

1.2 椭圆曲线的群阶和群结构

设 (E) 是定义在有限域 (F_q) 上的椭圆曲线，确定群阶 (|E(F_q)|)（即 (E(F_q)) 中的点数）对于椭圆曲线在密码学中的应用至关重要，因此需要能在合理时间内计算 (|E(F_q)|) 的算法。

1.2.1 群阶的界

对于椭圆曲线 (E) 定义为 (Y^2 + a_1XY + a_3Y = X^3 + a_2X^2 + a_4X + a_6)，对于每个 (x)，该方程最多有两个解，可得弱界 (|E(F_q)| \leq 2q + 1)。

1.2.2 不同有限域下的情况

• 二进制域 (F_{2^l}) ：曲线定义为 (Y^2 + XY = X^3 + aX^2 + c)，点 ((0, \sqrt{c}) \in E) 是 (x = 0) 时的唯一解。当 (x \neq 0) 时，通过变形可得 (W^2 + W = x + a + \frac{c}{x^2})（其中 (W = \frac{Y}{x})），该方程有解 (w) 当且仅当 (Tr(x + a + \frac{c}{x^2}) = 0)，此时 (w + 1) 是第二个解，所以 (|E(F_{2^l})|) 是偶数。假设 (x + a + \frac{c}{x^2}) 的值在迹为 0 和迹为 1 的元素中均匀分布，则 (|E(F_{2^l})|) 接近 (q)。
• 素域 (F_p)（(p > 3) 为素数） ：曲线定义为 (Y^2 = X^3 + bX + c)，多项式 (f(X) = X^3 + bX + c) 在 (k) 中有 0、1 或 3 个根。对于 (f(X)) 的每个根 (x)，可得 (E(F_p)) 上的一个点 ((x, 0))；若 (f(x) \neq 0)，(Y^2 = f(x)) 有 0 或 2 个解。包括无穷远点，当 (f(X)) 没有根时，(|E(F_p)|) 为奇数，否则为偶数。通过勒让德符号可高效判断 (Y^2 = f(x)) 是否有解，从而计算小 (p) 值下的 (|E(F_p)|)。在特殊情况下，若 (c = 0) 且 (p \equiv 3 \mod 4)，则 (|E(F_p)| = p + 1)，但这类曲线在密码学应用中有弱点。同样假设 (f(x)) 的值在 (F_p^*) 的平方元和非平方元中均匀分布，可期望 (|E(F_p)|) 接近 (p)。

1.2.3 Hasse 定理

Hasse 定理给出了 (|E(F_q)|) 的界：设 (E) 是 (F_q) 上的椭圆曲线，则 (||E(F_q)| - (q + 1)| \leq 2\sqrt{q})。

1.2.4 计算群阶的算法

• 1985 年，Schoof 发现了第一个用于计算有限域上任意椭圆曲线群阶 (|E(F_q)|) 的多项式时间算法，随后该算法被 Elkies 和 Atkin 改进，得到的 Schoof - Elkies - Atkin（SEA）算法可用于计算实际应用中所有 (q) 值下的 (|E(F_q)|)。
• 2000 年，Satoh 发表了用于计算定义在 (F_{p^k}) 上椭圆曲线 (|E(F_{p^k})|) 的算法，后来该算法被扩展到二进制域，其变体在二进制域上速度非常快。

1.2.5 群结构

有限阿贝尔群的结构定理表明，每个有限阿贝尔群同构于 (Z) 的剩余类群的有限积，对于椭圆曲线，因子个数 (\leq 2)。定理 A.118 指出，设 (E) 是定义在 (F_q) 上的椭圆曲线，则 (E(F_q) \cong Z_{d_1} \times Z_{d_2})，其中 (d_1) 和 (d_2) 唯一确定，且 (d_1) 整除 (d_2) 和 (q - 1)。若 (d_1 = 1)，则 (E(F_q)) 是循环群。

1.3 示例

1.3.1 示例 1

定义 (F_8) 为多项式 (f(X) = X^3 + X + 1)，设 (\xi) 是 (X) 在 (F_2[X]/f(X)) 中的剩余类，椭圆曲线 (E(F_8)) 为 (Y^2 + XY = X^3 + (\xi + 1)X^2 + \xi)，则 (E(F_8) = {O, (0, \xi + \xi^2), (1, 0), (1, 1), (\xi, 1 + \xi + \xi^2), (\xi, 1 + \xi^2), (1 + \xi, 1), (1 + \xi, \xi), (\xi + \xi^2, \xi), (\xi + \xi^2, \xi^2)})。由于 (|E(F_8)| = 10 = 2 \cdot 5) 没有重因子，所以 (d_1 = 1)，(E(F_8) \cong Z_{10}) 是循环群。

1.3.2 示例 2

设 (E) 是 (F_{11}) 上的椭圆曲线 (Y^2 = X^3 + 10X = X(X + 1)(X + 10))，它有 (|E(F_{11})| = 12) 个点。根据定理 A.118，可能的结构为 (Z_2 \times Z_6) 和 (Z_{12})。通过计算点的阶：
| 点 | (O) | ((0, 0)) | ((1, 0)) | ((4, \pm 4)) | ((6, \pm 1)) | ((8, \pm 3)) | ((9, \pm 4)) | ((10, 0)) |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 阶 | 1 | 2 | 2 | 3 | 6 | 6 | 6 | 2 |
可得 (E(F_{11}) \cong Z_2 \times Z_6)。

2. 概率和信息理论基础

2.1 有限概率空间和随机变量

2.1.1 基本定义

• 概率分布 ：概率分布 (p = (p_1, \cdots, p_n)) 是元素 (p_i \in R) 的元组，其中 (0 \leq p_i \leq 1)，且 (\sum_{i = 1}^n p_i = 1)。
• 概率空间 ：概率空间 ((X, p_X)) 是有限集 (X = {x_1, \cdots, x_n}) 配备概率分布 (p_X = (p_1, \cdots, p_n))，(p_i) 是 (x_i) 的概率，可将 (p_X) 视为从 (X) 到 ([0, 1]) 的映射，称为 (X) 上的概率测度。
• 事件 ：概率空间 ((X, p_X)) 中的事件 (E) 是 (X) 的子集，概率测度扩展到事件为 (p_X(E) = \sum_{y \in E} p_X(y))。例如，有限集 (X) 上的均匀分布 (p_{X, u}) 定义为 (p_{X, u}(x) := \frac{1}{|X|})，(X) 中所有元素具有相同概率。

2.1.2 概率测度的性质

• (prob(X) = 1)，(prob(\varnothing) = 0)。
• 若 (A) 和 (B) 是 (X) 中的不相交事件，则 (prob(A \cup B) = prob(A) + prob(B))。
• (prob(X \setminus A) = 1 - prob(A))。

2.1.3 条件概率

设 (X) 是概率空间，(A, B \subseteq X) 是事件，且 (prob(B) > 0)，则 (A) 在 (B) 条件下的条件概率为 (prob(A|B) := \frac{prob(A, B)}{prob(B)})。条件概率 (prob(x|B)) 定义了 (X) 上的概率分布，描述了在事件 (B) 发生的条件下 (x) 发生的概率。

2.1.4 相关命题和引理

• 命题 B.3 ：设 (X) 是有限概率空间，(X) 是事件 (E_1, \cdots, E_r \subseteq X) 的不相交并集，且 (prob(E_i) > 0) 对于 (i = 1 \cdots r)，则对于任意事件 (A \subseteq X)，有 (prob(A) = \sum_{i = 1}^r prob(E_i) \cdot prob(A|E_i))。
• 引理 B.4 ：设 (A, B, E \subseteq X) 是概率空间 (X) 中的事件，且 (prob(E) > 0)，若 (A) 和 (B) 在 (E) 条件下的条件概率相同，即 (prob(A|E) = prob(B|E))，则 (|prob(A) - prob(B)| \leq prob(X \setminus E))。
• 引理 B.5 ：设 (A, E \subseteq X) 是概率空间 (X) 中的事件，且 (prob(E) > 0)，则 (| prob(A) - prob(A|E) | \leq prob(X \setminus E))。

2.2 随机变量

2.2.1 定义

设 ((X, p_X)) 是概率空间，(Y) 是有限集，映射 (S : X \to Y) 称为 (X) 上的 (Y) 值随机变量。若 (Y \subset R)，则 (S) 是实值随机变量；若 (Y = {0, 1})，则 (S) 是二进制随机变量（也称为布尔谓词）。随机变量 (S) 和分布 (p_X) 诱导出 (Y) 上的分布 (p_S)：(p_S(y) := prob(S = y) := p_X({x \in X | S(x) = y}))，(p_S) 称为 (p_X) 在 (S) 下的像分布，也称为随机变量 (S) 的分布。

2.2.2 性质

• 概率分布 (p_S) 集中在 (S) 的像上，只有 (S(X)) 中的元素可能有大于 0 的概率。
• 概率空间和随机变量的概念密切相关，考虑 (Y) 值随机变量 (S) 相当于考虑概率空间 ((Y, p_S))，反之，有时将概率空间 ((X, p_X)) 视为随机变量也很方便。

2.3 独立事件和联合概率空间

2.3.1 独立事件

设 (A, B \subseteq X) 是概率空间 (X) 中的事件，(A) 和 (B) 独立当且仅当 (prob(A, B) = prob(A) \cdot prob(B))，若 (prob(B) > 0)，则此条件等价于 (prob(A|B) = prob(A))。

2.3.2 联合概率空间

概率空间 ((X, p_X)) 称为具有因子 ((X_1, p_{X_1}), \cdots, (X_r, p_{X_r})) 的联合概率空间，记为 (X_1X_2 \cdots X_r)，需满足：
- (X) 是集合 (X_1, \cdots, X_r) 的笛卡尔积：(X = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_r)。
- 分布 (p_{X_i}) 是 (p_X) 在投影 (\pi_i : X \to X_i) 下的像，即 (p_{X_i}(x) = p_X(\pi_i^{-1}(x)))。概率空间 (X_1, \cdots, X_r) 独立当且仅当 (p_X(x_1, \cdots, x_r) = \prod_{i = 1}^r p_{X_i}(x_i)) 对于所有 ((x_1, \cdots, x_r) \in X) 成立，此时 (X) 称为 (X_i) 的直积，记为 (X = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_r)。

2.4 随机变量的期望和相关引理

2.4.1 期望的定义

设 (S : X \to Y) 是实值随机变量，其期望 (E(S)) 定义为 (E(S) := \sum_{x \in X} prob(x) \cdot S(x))，也等于 (\sum_{y \in Y} prob(S = y) \cdot y)，期望 (E(S)) 是加权平均，每个值 (y) 的权重是它作为 (S) 的值出现的概率 (prob(S = y))。

2.4.2 期望的性质

设 (R) 和 (S) 是实值随机变量：
- (E(R + S) = E(R) + E(S))。
- 若 (R) 和 (S) 独立，则 (E(R \cdot S) = E(R) \cdot E(S))。

2.4.3 相关引理

• 引理 B.12 ：设 (E) 是概率空间 (X) 中的事件，且 (prob(E) = p > 0)，重复独立执行随机实验 (X)，设 (G) 是 (E) 首次发生时 (X) 的执行次数，则随机变量 (G) 的期望 (E(G)) 为 (\frac{1}{p})，(G) 称为关于 (p) 的几何随机变量。
• 引理 B.13 ：设 (R, S) 和 (B) 是取值在 ({0, 1}) 的联合分布随机变量，假设 (B) 和 (S) 独立且 (B) 均匀分布（(prob(B = 0) = prob(B = 1) = \frac{1}{2})），则 (prob(R = S) = \frac{1}{2} + prob(R = B | S = B) - prob(R = B))。

2.5 联合概率空间的构造和相关符号

2.5.1 联合概率空间的构造

给定集合 (X) 和集合族 (W = (W_x) {x \in X})，可构造 (X \triangleright\triangleleft W := {(x, w) | x \in X, w \in W_x} = \bigcup {x \in X} {x} \times W_x)。若给定 (X) 上的概率分布 (p_X) 和 (W_x) 上的概率分布 (p_{W_x})，则 (X \triangleright\triangleleft W) 上的联合概率分布 (p_{XW}) 定义为 (p_{XW}(x, w) := p_X(x) \cdot p_{W_x}(w))。反之，给定 (X \triangleright\triangleleft W) 上的分布 (p_{XW})，可通过投影得到 (X) 上的像分布 (p_X) 和 (W_x) 上的概率分布 (p_{W_x})，(p_{W_x}) 是条件概率，(prob(w|x) := p_{W_x}(w)) 是在第一个分量为 (x) 的条件下，(w) 作为第二个分量出现的概率。

2.5.2 相关符号

设 ((X, p_X)) 是概率空间，(B : X \to {0, 1}) 是布尔谓词，则 (prob(B(x) = 1 : x \stackrel{p_X}{\leftarrow} X) := p_X({x \in X | B(x) = 1}))。若分布 (p_X) 由上下文确定，可简记为 (prob(B(x) = 1 : x \leftarrow X))；若 (p_X) 是均匀分布，记为 (prob(B(x) = 1 : x \stackrel{u}{\leftarrow} X))。有时用 (x \leftarrow X) 表示 (X) 上的概率分布，(x \stackrel{u}{\leftarrow} X) 表示均匀分布，强调 (X) 中成员是随机选择的。若 (p_X) 是 (X) 值随机变量 (S) 的分布，则记为 (prob(B(x) = 1 : x \leftarrow S))。

通过以上内容，我们了解了椭圆曲线的基本运算、群阶和群结构，以及概率和信息理论的基础概念，这些知识在密码学等领域有重要应用。

3. 概率信息理论在椭圆曲线密码学中的潜在联系

3.1 概率对椭圆曲线群阶计算的影响

在椭圆曲线密码学中，准确计算椭圆曲线的群阶至关重要。从概率的角度来看，之前提到的不同有限域下群阶的计算与概率分布密切相关。例如，在二进制域 (F_{2^l}) 中，假设 (x + a + \frac{c}{x^2}) 的值在迹为 0 和迹为 1 的元素中均匀分布，从而推测 (|E(F_{2^l})|) 接近 (q)；在素域 (F_p) 中，假设 (f(x)) 的值在 (F_p^*) 的平方元和非平方元中均匀分布，期望 (|E(F_p)|) 接近 (p)。这种基于概率分布的假设为群阶的估算提供了思路。

在实际计算群阶的算法中，如 Schoof - Elkies - Atkin（SEA）算法和 Satoh 算法，虽然它们是确定性的算法，但概率的概念可以用于分析算法的复杂度和性能。例如，在分析算法的平均运行时间时，可以将输入的椭圆曲线参数看作是从某个概率分布中随机选取的，从而评估算法在不同情况下的表现。

3.2 随机变量与椭圆曲线点的选取

在椭圆曲线密码学中，随机选取椭圆曲线上的点是一个常见的操作。可以将椭圆曲线上的点看作是随机变量的取值。例如，在密钥生成过程中，需要随机选取一个私钥 (r)，然后通过标量 - 点乘法计算公钥 (rP)。这里的私钥 (r) 可以看作是一个在一定范围内均匀分布的随机变量，而公钥 (rP) 则是基于这个随机变量和固定基点 (P) 计算得到的结果。

从概率的角度来看，随机变量的独立性和分布特性对于密码系统的安全性至关重要。如果私钥 (r) 的选取不是均匀分布的，或者与其他随机变量存在相关性，那么攻击者可能会利用这些信息来破解密码系统。因此，在实际应用中，需要确保随机变量的选取满足独立性和均匀分布的要求。

3.3 独立事件与椭圆曲线密码学的安全性

独立事件的概念在椭圆曲线密码学的安全性分析中也有重要应用。例如，在椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）中，签名的生成和验证过程涉及多个步骤，每个步骤可以看作是一个事件。为了保证签名的安全性，这些事件应该是相互独立的。

假设签名过程中的某个事件 (A) 和另一个事件 (B) 不独立，即 (prob(A, B) \neq prob(A) \cdot prob(B))，那么攻击者可能会利用这种相关性来伪造签名。因此，在设计和分析椭圆曲线密码算法时，需要确保各个步骤之间的事件是独立的，以提高密码系统的安全性。

4. 总结与展望

4.1 总结

本文围绕椭圆曲线和概率信息理论展开了详细的阐述。在椭圆曲线方面，介绍了标量 - 点乘法的双倍 - 加法算法，以及椭圆曲线的群阶和群结构的相关知识，包括不同有限域下群阶的计算、Hasse 定理和计算群阶的算法。在概率信息理论方面，涵盖了有限概率空间、随机变量、独立事件和联合概率空间等基本概念，以及随机变量的期望和相关引理。最后，探讨了概率信息理论在椭圆曲线密码学中的潜在联系，包括对群阶计算、点的选取和密码系统安全性的影响。

4.2 展望

随着密码学的不断发展，椭圆曲线密码学在实际应用中的需求越来越大。未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 算法优化 ：进一步优化计算椭圆曲线群阶的算法，提高算法的效率和性能，特别是在处理大规模椭圆曲线时。
- 安全性分析 ：结合概率信息理论，深入分析椭圆曲线密码算法的安全性，考虑更多复杂的攻击模型和概率分布，为密码系统的设计提供更可靠的理论支持。
- 应用拓展 ：探索椭圆曲线密码学在更多领域的应用，如物联网、区块链等，同时研究如何在这些应用场景中更好地利用概率信息理论来提高系统的安全性和性能。

总之，椭圆曲线和概率信息理论的结合为密码学的发展提供了广阔的前景，未来的研究将不断推动这一领域的进步。

流程图：椭圆曲线密码学中的概率应用流程

graph LR
    A[椭圆曲线参数选取] --> B[群阶计算]
    B --> C{群阶是否合适}
    C -- 是 --> D[随机选取点]
    C -- 否 --> A
    D --> E[密码算法操作（签名、加密等）]
    E --> F[安全性分析（基于概率）]
    F --> G{是否安全}
    G -- 是 --> H[应用于实际系统]
    G -- 否 --> A

表格：椭圆曲线与概率信息理论关键概念对比

椭圆曲线相关概念	概率信息理论相关概念	联系
标量 - 点乘法	随机变量的运算	随机选取的标量可看作随机变量，用于计算椭圆曲线上的点
群阶计算	概率分布与期望	群阶的估算基于概率分布假设，算法性能分析可考虑概率期望
椭圆曲线点的选取	独立事件	点的选取应满足独立性要求，以保证密码系统安全