15、多项式计算与编码理论中的相关研究进展

多项式计算与编码理论中的相关研究进展

在数学和计算机科学的交叉领域，多项式计算和编码理论一直是研究的热点。本文将围绕多项式比较复杂度、循环码解码以及四元Reed - Muller码的核维度等方面展开探讨。

1. 单项式比较复杂度及算法应用

在多项式计算中，单项式比较复杂度是一个重要的研究方向。FGLM - 算法和BM - 算法都与通过有限功能集定义的理想相关。对于理想定义，存在有限功能集 $L_i : k[x_1, \ldots, x_n] \to k$，使得理想 $I$ 处于 $\Psi : k[x_1, \ldots, x_n] \to k^m$ 的核中，其中 $\Psi(f) = (L_1(f), \ldots, L_m(f))$。

在BM - 算法中，功能定义为 $L_i(f) = f(p_i)$；在FGLM - 算法中，功能定义为 $N_f(f, G_1) = \sum L_i(f)e_i$。通过使用BM - 算法的步骤C1、C2’、F3、C4、C5’（其中F3定义为计算 $\Psi(t) = (b_1, \ldots, b_m)$ 并将其相对于C的行进行约简，得到 $(v_1, \ldots, v_m) = (b_1, \ldots, b_m) - \sum a_i(c_{i1}, \ldots, c_{im})$，$a_i \in k$），可以得到一种算法。

该算法的算术复杂度方面，原本需要 $O(nm^3 + fnm^2)$ 次算术运算，经过优化后，可替换为 $O(\min(m, n)m^3 + nm^2 + fnm + f \min(m, n)m^2)$ 次算术运算。在BM或FGLM情况下，$f = 1$。此外，还需要考虑单项式操作的成本，使