32、无标度网络与空间网络中的循环研究

无标度网络与空间网络中的循环研究

1. 无标度网络中的循环计算

在图论中，对于图 $G$ 中长度 $l = 5$ 的循环数量，可通过以下公式计算：
[n_G(C_5) = \frac{1}{10} \left(\text{Trace}(A^5) - 5\sum_{i = 1}^{N}(A^3)_{ii}(k_i - 2) - 5\text{Trace}(A^3)\right)]
其中，$A$ 是图 $G$ 的邻接矩阵，$k_i$ 是节点 $i$ 的度。对于更高阶循环（长度 $l$ 最大到 7）数量的类似公式，可在相关文献中找到。

1.1 ER 随机图中的循环

利用第 3 章的公式 (3.21)，可以得到 ER 随机图中长度为 $l$ 的循环数量 $n(C_l)$ 的表达式：
[n(C_l) = \frac{\langle k\rangle^l}{2l}]
例如，公式 (3.21) 给出了在 ER 随机图集合中，具有 $n$ 个节点和 $l$ 条边的给定子图 $F_{n,l}$ 出现的期望次数 $n(F_{n,l})$。当 $n = l$ 且考虑概率 $p$ 与 $N$ 呈线性反比关系（即 $p(N) = \langle k\rangle N^{-1}$，表示具有固定平均度 $\langle k\rangle$ 的图）时，可得到 $n(C_l) = \frac{\langle k\rangle^l}{a_{C_l}}$。由于长度为 $l$ 的循环的自同构数量 $a_{C_l}$ 等于 $2l$，从而得到上述公式。

值得注意的是，ER 随机图中任何给定长度的循环平均数量是常数，不依赖于网络的阶数 $N$。也就是说，循环数