28、形状量化、随机树与随机森林技术解析

形状量化、随机树与随机森林技术解析

1. 形状量化与分类树构建

在手写字符识别的实际实验中，示例图像分辨率较大，如 70×70 像素。为捕捉形状的相关细节，通常需增大方形窗口的尺寸。以高度 N = 4 为例，就需考虑 2N×N = 65,536 个掩码，这意味着要对掩码进行聚类。

具体操作如下：
- 从训练位图中选取大量 4×4 窗口的样本 U。
- 构建一个二叉分类树 U，树的节点即为标签。若窗口大小为 4×4，可提出 16 个“像素 (i,j) 是否为 1？”的二元问题。根节点无问题，后续节点选择问题时，要将样本子群体尽可能均分为两组，这是“二十个问题”的基本原理，目的是降低配置经验分布的熵。

树的层级与标签数量关系如下：
| 层级 | 标签数量 |
| ---- | ---- |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |

随着标签、关系及其阶数的增加，更易达到零条件熵的叶子节点，从而正确确定形状类别，但学习过程的复杂度也会显著提高。因此，实际应用中会限制标签和关系的数量，如 20 个标签和 20 个关系。

2. 随机化与多树策略

假设有 M 个可能的测试集 X，分类树 T 的目的是最小化 H(Y |X)，等价于最大化 P(Y |X)。但构建 T 时并非选择所有测试，而是最大化 P(Y |T)，当 M 和树的深度较大时，这是对最大化 P(Y |X)的良好近似。

采用 K 个浅树 T1, T2, …, TK 替代单个深树，随机选择二元测试集 B 的子集用于生长每棵树，除降低复杂度外，还有以下优点：
- 从不同视角刻画同一形状。
- 降低不同树之间的统计依赖性。
- 提高分类的鲁棒性。

这些树的聚合方式如下：
- 假设共有 C 个类别，每棵树的叶子节点值为 c = 1, …, C。
- 估计每棵树的 C × 2D 个参数（考虑所有树则为 K × C × 2D 个）。
- 计算后验概率 μTk(c) = P(Y = c|Tk = l)，通过平均聚合计算：
$\overline{\mu}(x) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} \mu_{T_k}(x)$

最后，输入 x 的分类结果为平均分布的众数：
$\hat{Y} = \arg \max_{c} \overline{\mu}_c$

mermaid 流程图如下：

graph TD;
    A[选择 K 个浅树] --> B[随机选择测试子集生长树];
    B --> C[估计参数];
    C --> D[计算后验概率];
    D --> E[平均聚合];
    E --> F[确定分类结果];

3. 随机森林的基本概念

随机森林（RFs）是由 Breiman 提出的正式模型，是树分类器的集合 F = {hk(x), k = 1, …, K}。构建过程如下：
- 考虑训练集的维度 |X| 和元素的最大变量数 N。
- 对于第 k 棵树：
- 从 X 中有放回地随机选择 |X| 个样本，即自助法（bootstrapping），得到训练集 Xk。
- 每个节点随机选择 n << N 个变量（测试），找到最佳分割。
- 让树自然生长，不进行剪枝。

输入 x 的分类结果通过多数投票确定：
$h_F(x) = \text{MAJ}{h_1(x), h_2(x), …, h_K(x)}$

4. 随机森林的泛化误差

随机森林的泛化误差可通过边际来量化，边际定义为预测正确类别的概率与预测错误类别最大概率之差：
$mar(X, Y) = P(h_F(x) = y) - \max_{z \neq y} P(h_F(x) = z)$

泛化误差为：
$GE = P_{X,Y}(mar(X, Y) < 0)$

泛化误差的上界与森林中树的相关性和强度有关：
$GE \leq \overline{\rho}(1 - s^2) / s^2$

其中，$\overline{\rho}$ 是平均相关性，s 是森林的强度。高相关性和低强度会导致泛化能力差。

5. 袋外误差估计

为量化和控制森林的强度和相关性，可使用袋外（oob）估计。构建树 Tk 时，丢弃 1/3 的样本作为 oob 样本，计算 oob 投票比例 Q(x, z)。

强度的近似估计为：
$\hat{s} = \frac{1}{|X|} \sum_{x \in X} (Q(x, y) - \max_{z \neq y} Q(x, z))$

相关性的估计与方差和标准差的期望有关：
$\overline{\rho} \approx \frac{\frac{1}{|X|} \sum_{x \in X} (Q(x, y) - \max_{z \neq y} Q(x, z))^2 - \hat{s}^2}{(E_{\Theta}[Std(\Theta)])^2}$

6. 变量选择：Forest - RI 与 Forest - RC

随机森林中变量选择有两种方法：
- Forest - RI ：固定大小 n 随机选择特征，典型选择为 n = ⌊log2 N + 1⌋。n 越大，相关性越高，但强度也越高，需找到平衡。
- Forest - RC ：当输入变量较少时，通过线性组合现有变量创建新变量。在图像分类的词袋（BoW）方法中应用时，图像用不变特征表示，通过描述符编码形成视觉词汇。为解决 BoW 方法的弱点，采用空间金字塔表示，计算不同区域的直方图。构建树时，随机选择描述符类型和金字塔级别，进行测试以减少树之间的相关性。

操作步骤如下：
1. 选择描述符类型和金字塔级别。
2. 确定每个测试的参数 n、b 和 nz。
3. 对每个节点进行 r = 100D 次测试，选择条件熵减少最大的测试。

mermaid 流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[选择 Forest - RI 或 Forest - RC];
    B --> C{Forest - RI};
    C -- 是 --> D[固定 n 随机选特征];
    C -- 否 --> E[线性组合创建新变量];
    D --> F[构建树];
    E --> F;
    F --> G[图像特征表示];
    G --> H[计算直方图];
    H --> I[随机选描述符和级别];
    I --> J[进行测试];
    J --> K[选择最佳测试];
    K --> L[结束];

综上所述，形状量化、随机树和随机森林在模式识别和图像分类等领域有重要应用，通过合理选择参数和方法，可在提高分类性能的同时降低复杂度和泛化误差。

形状量化、随机树与随机森林技术解析（续）

7. 技术细节与参数权衡

在随机森林的实际应用中，各参数之间的权衡至关重要。例如，在 Forest - RI 方法中，特征数量 n 的选择直接影响着森林的性能。当 n 较小时，树之间的相关性降低，但森林的强度也会减弱，可能导致分类性能不佳；而当 n 较大时，虽然森林的强度增加，但相关性也会随之提高，同样可能影响泛化能力。因此，需要根据具体的数据集和问题，通过实验来找到合适的 n 值。

以下是不同 n 值对随机森林性能影响的简单示意表格：
| n 值 | 相关性 | 强度 | 泛化误差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 小 | 低 | 低 | 高 |
| 适中 | 适中 | 适中 | 低 |
| 大 | 高 | 高 | 高 |

在 Forest - RC 方法中，线性组合变量的过程也需要谨慎操作。选择合适的 l 个变量进行线性组合，以及确定系数的取值范围 [-1, 1]，都会对新变量的质量产生影响。同时，在构建树的过程中，随机选择描述符类型和金字塔级别，以及确定测试参数 n、b 和 nz，都需要综合考虑，以达到减少树之间相关性、提高分类性能的目的。

8. 应用案例分析

以图像分类为例，随机森林在处理复杂图像数据时展现出了强大的能力。在使用词袋（BoW）方法结合空间金字塔表示的图像分类任务中，随机森林能够有效地处理图像的特征信息。

假设我们有一个包含多种物体类别的图像数据集，通过以下步骤使用随机森林进行分类：
1. 特征提取 ：使用不变特征（如改进的 Kadir - Brady 特征）提取图像的特征，并使用 SIFT 等描述符进行编码，形成视觉词汇。
2. 空间金字塔表示 ：将图像划分为不同的子区域，计算每个区域的特征直方图，包括外观和形状直方图。
3. 随机森林构建 ：
- 采用 Forest - RC 方法，随机选择描述符类型和金字塔级别，进行线性组合创建新变量。
- 为每个节点随机选择测试参数，进行多次测试，选择条件熵减少最大的测试。
4. 分类预测 ：将新的图像输入到随机森林中，通过多数投票确定图像的类别。

通过实际实验，我们发现随机森林在该图像分类任务中取得了较好的效果，能够在一定程度上解决 BoW 方法的弱点，如处理杂乱背景和表示几何结构等问题。

9. 未来发展趋势

随着数据量的不断增加和计算能力的提升，随机森林技术也在不断发展。未来，可能会出现以下发展趋势：
- 更复杂的特征组合 ：除了线性组合，可能会探索更多非线性的特征组合方式，以更好地捕捉数据的内在结构。
- 自适应参数调整 ：开发能够根据数据集自动调整参数的算法，减少人工调参的工作量。
- 与深度学习的融合 ：将随机森林与深度学习模型相结合，充分发挥两者的优势，提高分类性能。

10. 总结与建议

形状量化、随机树和随机森林是模式识别和图像分类领域中非常有效的技术。通过合理运用这些技术，可以在不同的应用场景中取得较好的分类效果。

在实际应用中，建议：
- 对于形状量化，根据图像的分辨率和复杂度，合理选择窗口大小和掩码数量，避免学习过程过于复杂。
- 在使用随机树和随机森林时，仔细权衡参数之间的关系，如特征数量、树的深度等，通过实验找到最佳的参数组合。
- 充分利用袋外误差估计等方法，量化和控制森林的强度和相关性，提高泛化能力。

同时，关注技术的发展趋势，不断探索新的方法和应用，以适应不断变化的需求。

mermaid 流程图展示随机森林应用的整体流程：

graph TD;
    A[数据准备] --> B[特征提取];
    B --> C[空间金字塔表示];
    C --> D[随机森林构建];
    D --> E{Forest - RI 或 Forest - RC};
    E -- Forest - RI --> F[固定 n 随机选特征];
    E -- Forest - RC --> G[线性组合创建新变量];
    F --> H[树生长];
    G --> H;
    H --> I[分类预测];
    I --> J[结果评估];
    J --> K{是否满意};
    K -- 是 --> L[应用];
    K -- 否 --> M[调整参数];
    M --> D;

通过以上的分析和总结，我们可以更好地理解和应用形状量化、随机树和随机森林技术，为实际问题提供有效的解决方案。