13、线性规划：从基础到整数规划的深入剖析

线性规划：从基础到整数规划的深入剖析

1. 线性规划基础与最优解特性

在解决线性规划问题时，我们通常会发现最优解出现在可行区域的顶点上。当通过在可行区域内移动直线来寻找问题的解时，这种现象就会显现出来。对于涉及三个变量的问题，可行区域是由平面构成的三维形状，此时目标函数可看作是在多面体中移动的平面，并在顶点处达到最大值。理论表明，如果线性规划问题的可行区域是有界的，那么它呈现出多面体的形状，并且若问题存在最优解，该最优解必然位于可行区域的某个顶点上。

不过，直接评估每个可行顶点的目标值并找出最大值的方法，在处理小规模问题时或许可行，但对于大规模问题则完全不切实际。例如，一个仅包含16个问题变量和20个非平凡约束的线性规划问题，就需要检查约70亿个平凡和非平凡约束的交点。因此，我们需要更精妙的方法。

2. 线性规划的标准形式

对于包含 ( n ) 个变量 ( x_1, x_2, \cdots, x_n ) 的线性规划问题，目标函数 ( z ) 可表示为：
[ z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n ]
在线性规划的术语中，( x_1, x_2, \cdots, x_n ) 被称为问题变量，系数 ( c_1, c_2, \cdots, c_n ) 被称为成本。由于最大化 ( z ) 等同于最小化 ( -z )，所以第一步我们通常假设问题是寻找一组能使目标函数最大化的问题变量值。必要时，我们会用 ( -c_i ) 替换每个 ( c_i )，并忽略任何固定价格（恒定间接费用）成本。

为了进一步标准化，我们使用 ( \leq ) 符号来表示所有非平凡约束。这可以通过改变相应系数的符号来实现。